Решение неравенства методом интервалов: x-4 / (x+2)^5(1-x) ≤ 0

Для решения данного неравенства методом интервалов выполним следующие шаги: \[ \frac{x-4}{(x+2)^5(1-x)} \leq 0 \] 1. Определим точки, где числитель или знаменатель обращаются в нуль: Нули числителя: \[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \] Нули знаменателя: \[ (x+2)^5 = 0 \Rightarrow x = -2 \] \[ 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 \] В окошки на числовой прямой вписываем числа в порядке возрастания (слева направо): Первое окошко: \( -2 \) Второе окошко: \( 1 \) Третье окошко: \( 4 \) 2. Определим, какие точки выколотые, а какие закрашенные: Неравенство нестрогое (\( \leq \)), поэтому: - Нуль числителя \( x = 4 \) будет закрашенной точкой (входит в решение). - Нули знаменателя \( x = -2 \) и \( x = 1 \) всегда выколотые (не входят в решение, так как на ноль делить нельзя). Итог: Точка \( -2 \): выколотая. Точка \( 1 \): выколотая. Точка \( 4 \): закрашенная. 3. Схема знаков на интервалах: Определим знаки выражения \( f(x) = \frac{x-4}{(x+2)^5(1-x)} \) на каждом промежутке: - Интервал \( (-\infty; -2) \): возьмем \( x = -3 \). \[ \frac{-3-4}{(-3+2)^5(1-(-3))} = \frac{-7}{(-1)^5 \cdot 4} = \frac{-7}{-4} = + \] Знак: \( + \) - Интервал \( (-2; 1) \): возьмем \( x = 0 \). \[ \frac{0-4}{(0+2)^5(1-0)} = \frac{-4}{32 \cdot 1} = - \] Знак: \( - \) - Интервал \( (1; 4) \): возьмем \( x = 2 \). \[ \frac{2-4}{(2+2)^5(1-2)} = \frac{-2}{4^5 \cdot (-1)} = \frac{-2}{-1024} = + \] Знак: \( + \) - Интервал \( (4; +\infty) \): возьмем \( x = 5 \). \[ \frac{5-4}{(5+2)^5(1-5)} = \frac{1}{7^5 \cdot (-4)} = - \] Знак: \( - \) Схема знаков (слева направо): \( + \) | \( - \) | \( + \) | \( - \) Так как по условию нам нужно \( \leq 0 \), решением будут интервалы со знаком "минус" и закрашенная точка: \[ x \in (-2; 1) \cup [4; +\infty) \]