Решение задач №403 и №404

Ниже представлено решение задач №403 и №404 из учебника, оформленное для переписывания в тетрадь. Задание №403. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения \( (x+3)(x^2-4x+7) - (x^2-5)(x-1) \) равно 16. Решение: Для доказательства раскроем скобки и упростим выражение: \[ (x+3)(x^2-4x+7) - (x^2-5)(x-1) = \] \[ = (x \cdot x^2 + x \cdot (-4x) + x \cdot 7 + 3 \cdot x^2 + 3 \cdot (-4x) + 3 \cdot 7) - (x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-1) - 5 \cdot x - 5 \cdot (-1)) = \] \[ = (x^3 - 4x^2 + 7x + 3x^2 - 12x + 21) - (x^3 - x^2 - 5x + 5) = \] Приведем подобные слагаемые в первой скобке: \[ = (x^3 - x^2 - 5x + 21) - (x^3 - x^2 - 5x + 5) = \] Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные: \[ = x^3 - x^2 - 5x + 21 - x^3 + x^2 + 5x - 5 = \] Сгруппируем и сократим взаимно уничтожающиеся слагаемые: \[ = (x^3 - x^3) + (-x^2 + x^2) + (-5x + 5x) + (21 - 5) = \] \[ = 0 + 0 + 0 + 16 = 16 \] Значение выражения равно 16 при любом \( x \), что и требовалось доказать. Задание №404. Докажите, что при любом значении переменной значение выражения \( (x-3)(x^2+7) - (x-2)(x^2-x+5) \) равно -11. Решение: Раскроем скобки: \[ (x-3)(x^2+7) - (x-2)(x^2-x+5) = \] \[ = (x^3 + 7x - 3x^2 - 21) - (x^3 - x^2 + 5x - 2x^2 + 2x - 10) = \] Упорядочим слагаемые и приведем подобные во второй скобке: \[ = (x^3 - 3x^2 + 7x - 21) - (x^3 - 3x^2 + 7x - 10) = \] Раскроем скобки: \[ = x^3 - 3x^2 + 7x - 21 - x^3 + 3x^2 - 7x + 10 = \] Сократим одинаковые слагаемые с разными знаками: \[ = (x^3 - x^3) + (-3x^2 + 3x^2) + (7x - 7x) + (-21 + 10) = \] \[ = 0 + 0 + 0 - 11 = -11 \] Значение выражения равно -11 при любом \( x \), что и требовалось доказать.