Решение задачи: Четырехзначные числа с убывающими цифрами

Задача: Найти количество четырёхзначных чисел, у которых каждая цифра меньше предыдущей. Решение: Пусть наше четырёхзначное число имеет вид \( \overline{abcd} \), где \( a, b, c, d \) — его цифры. По условию задачи должно выполняться строгое неравенство: \[ a > b > c > d \] Заметим важные особенности: 1. Цифры выбираются из множества \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \). Всего 10 цифр. 2. В таком числе цифра \( a \) не может быть нулем, так как она самая большая. Следовательно, число всегда будет четырёхзначным. 3. Если мы выберем любые 4 различные цифры из 10, то существует только один единственный способ расположить их в порядке убывания. Таким образом, задача сводится к поиску количества способов выбрать 4 различные цифры из 10 без учета порядка (так как порядок строго определен условием). Это число сочетаний из 10 по 4. Используем формулу для числа сочетаний: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Подставим наши значения \( n = 10 \) и \( k = 4 \): \[ C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \] Расписываем факториалы и сокращаем: \[ C_{10}^4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{ (4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \] Произведем вычисления: \[ 4 \cdot 2 = 8 \] (сокращаем с восьмеркой в числителе) \[ 9 / 3 = 3 \] \[ C_{10}^4 = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210 \] Ответ: 210 четырёхзначных чисел.