Решение: Четырехзначные числа и Наибольший Коэффициент Бинома

Для нахождения наибольшего коэффициента многочлена воспользуемся формулой бинома Ньютона. Решение: Разложение выражения \( (2+x)^8 \) по формуле бинома Ньютона имеет вид: \[ (2+x)^8 = \sum_{k=0}^{8} C_8^k \cdot 2^{8-k} \cdot x^k \] Коэффициент при \( x^k \) обозначим как \( A_k \). Формула для общего члена: \[ A_k = C_8^k \cdot 2^{8-k} \] Чтобы найти наибольший коэффициент, сравним последующий член с предыдущим. Рассмотрим отношение \( \frac{A_{k+1}}{A_k} \): \[ \frac{A_{k+1}}{A_k} = \frac{C_8^{k+1} \cdot 2^{8-(k+1)}}{C_8^k \cdot 2^{8-k}} = \frac{C_8^{k+1}}{C_8^k} \cdot \frac{2^{7-k}}{2^{8-k}} = \frac{C_8^{k+1}}{C_8^k} \cdot \frac{1}{2} \] Используя формулу сочетаний, упростим отношение \( \frac{C_8^{k+1}}{C_8^k} \): \[ \frac{C_8^{k+1}}{C_8^k} = \frac{8-k}{k+1} \] Следовательно: \[ \frac{A_{k+1}}{A_k} = \frac{8-k}{2(k+1)} \] Коэффициенты возрастают, пока это отношение больше 1: \[ \frac{8-k}{2k+2} > 1 \] \[ 8-k > 2k+2 \] \[ 6 > 3k \] \[ k < 2 \] Это означает, что \( A_0 < A_1 < A_2 \). Проверим отношение при \( k=2 \): \[ \frac{A_3}{A_2} = \frac{8-2}{2(2+1)} = \frac{6}{6} = 1 \] Значит, \( A_2 = A_3 \). При \( k > 2 \) отношение будет меньше 1, и коэффициенты начнут убывать. Таким образом, наибольшее значение достигается при \( k=2 \) и \( k=3 \). Вычислим \( A_2 \): \[ A_2 = C_8^2 \cdot 2^{8-2} = C_8^2 \cdot 2^6 \] \[ C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \] \[ A_2 = 28 \cdot 64 = 1792 \] Проверим \( A_3 \): \[ A_3 = C_8^3 \cdot 2^{8-3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 2^5 = 56 \cdot 32 = 1792 \] Ответ: Наибольший коэффициент равен 1792.