Решение задач: АТФ, тРНК и шестиугольная призма

Для того чтобы решение было максимально понятным, разберем каждый шаг подробно. Такую запись можно использовать как основу для ответа у доски или в тетради. Запись в тетрадь: Дано: Правильная шестиугольная призма. \(a = 6\) см — сторона основания. \(\angle \alpha = 30^{\circ}\) — угол между большой диагональю призмы и основанием. Найти: \(S_{полн}\) — полную площадь поверхности. Решение: 1. Анализ основания призмы. В основании лежит правильный шестиугольник. У него есть два типа диагоналей: малые и большие. Большая диагональ основания (\(d\)) проходит через центр шестиугольника и соединяет противоположные вершины. По свойствам правильного шестиугольника, она равна двум его сторонам: \[d = 2 \cdot a = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}\] 2. Нахождение высоты призмы (\(h\)). Рассмотрим прямоугольный треугольник, который «стоит» внутри призмы. Его катетами являются высота призмы (\(h\)) и большая диагональ основания (\(d\)), а гипотенузой — большая диагональ призмы. По условию, угол между диагональю призмы и основанием равен \(30^{\circ}\). Используем определение тангенса (отношение противолежащего катета к прилежащему): \[\text{tg}(30^{\circ}) = \frac{h}{d}\] Отсюда выражаем высоту: \[h = d \cdot \text{tg}(30^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}\] 3. Вычисление площади основания (\(S_{осн}\)). Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников со стороной \(a\). Площадь одного такого треугольника равна \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Значит, площадь всего основания: \[S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot a^2\] Подставляем \(a = 6\): \[S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 3\sqrt{3} \cdot 18 = 54\sqrt{3} \text{ см}^2\] 4. Вычисление площади боковой поверхности (\(S_{бок}\)). Боковая поверхность призмы состоит из 6 одинаковых прямоугольников. Стороны каждого прямоугольника — это сторона основания (\(a = 6\)) и высота призмы (\(h = 4\sqrt{3}\)). Сначала найдем периметр основания: \[P = 6 \cdot a = 6 \cdot 6 = 36 \text{ см}\] Теперь площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = P \cdot h = 36 \cdot 4\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \text{ см}^2\] 5. Вычисление полной площади поверхности (\(S_{полн}\)). Полная площадь складывается из площадей двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности: \[S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}\] Подставляем найденные значения: \[S_{полн} = 2 \cdot 54\sqrt{3} + 144\sqrt{3} = 108\sqrt{3} + 144\sqrt{3} = 252\sqrt{3} \text{ см}^2\] Ответ: \(S_{полн} = 252\sqrt{3} \text{ см}^2\). Подробное объяснение логики: — Почему \(d = 2a\)? В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы по \(120^{\circ}\). Если провести большие диагонали, они разделят его на 6 правильных (равносторонних) треугольников. Диагональ состоит из двух сторон таких треугольников. — Зачем нам тангенс? Высота призмы перпендикулярна основанию, поэтому она образует с любой диагональю основания прямой угол. Это позволяет нам использовать тригонометрию в прямоугольном треугольнике. — Что такое полная площадь? Представьте, что вам нужно обклеить призму бумагой со всех сторон. Вам нужно покрыть «пол», «потолок» (2 основания) и все 6 «стен» (боковая поверхность). Сумма площадей всех этих элементов и есть полная площадь.