Решение задачи №555 по геометрии 8 класса

Задача №555 Дано: \( \triangle ABC \), \( M \in AB \), \( N \in BC \), \( P \in AC \). \( MN \parallel AC \), \( NP \parallel AB \). а) \( AB = 10 \) см, \( AC = 15 \) см, \( PN : MN = 2 : 3 \). Найти: стороны \( AMNP \). Решение: 1. Рассмотрим четырехугольник \( AMNP \). По условию \( MN \parallel AP \) (так как \( P \) лежит на \( AC \)) и \( NP \parallel AM \) (так как \( M \) лежит на \( AB \)). Следовательно, \( AMNP \) — параллелограмм по определению (противоположные стороны попарно параллельны). По свойствам параллелограмма: \( AM = PN \) и \( AP = MN \). 2. Рассмотрим \( \triangle MBN \) и \( \triangle ABC \). Так как \( MN \parallel AC \), то \( \angle BMN = \angle BAC \) и \( \angle BNM = \angle BCA \) как соответствующие углы при параллельных прямых и секущих \( AB \) и \( BC \). Значит, \( \triangle MBN \sim \triangle ABC \) по двум углам (первый признак подобия). 3. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон: \[ \frac{MN}{AC} = \frac{MB}{AB} \] Пусть коэффициент пропорциональности для сторон параллелограмма равен \( x \). Тогда по условию \( PN = 2x \), \( MN = 3x \). Так как \( AM = PN \), то \( AM = 2x \). Отрезок \( MB = AB - AM = 10 - 2x \). 4. Подставим значения в пропорцию: \[ \frac{3x}{15} = \frac{10 - 2x}{10} \] Сократим левую дробь на 3: \[ \frac{x}{5} = \frac{10 - 2x}{10} \] Применим основное свойство пропорции: \[ 10x = 5(10 - 2x) \] \[ 10x = 50 - 10x \] \[ 20x = 50 \] \[ x = 2,5 \] 5. Находим стороны четырехугольника: \( PN = AM = 2 \cdot 2,5 = 5 \) (см). \( MN = AP = 3 \cdot 2,5 = 7,5 \) (см). Ответ: стороны параллелограмма равны 5 см, 7,5 см, 5 см, 7,5 см.