Решение задачи по Сопротивлению Материалов (Вариант №5)

Ниже представлено решение задачи по сопротивлению материалов для Варианта №5. Дано: \[ \sigma_{т} = 750 \text{ МПа} = 750 \cdot 10^6 \text{ Па} \] \[ F = 125 \text{ кН} = 125 \cdot 10^3 \text{ Н} \] \[ k = 0,9 \] \[ b = 0,45 \text{ м} \] \[ [\sigma] = \frac{\sigma_{т}}{1,5} \] Решение: 1. Определим допускаемое напряжение: \[ [\sigma] = \frac{750}{1,5} = 500 \text{ МПа} \] 2. Определим продольные силы на участках бруса методом сечений. Идем слева направо: Участок 1 (длиной \( b \)): \[ N_1 = -F = -125 \text{ кН} \] Участок 2 (длиной \( b/k \)): В точке приложения силы \( kF \) происходит скачок. \[ N_2 = -F - kF = -F(1 + k) = -125 \cdot (1 + 0,9) = -237,5 \text{ кН} \] Участок 3 (длиной \( kb \)): В точке приложения силы \( F/k \) происходит скачок. \[ N_3 = N_2 + F/k = -237,5 + \frac{125}{0,9} \approx -237,5 + 138,89 = -98,61 \text{ кН} \] 3. Условие прочности по нормальным напряжениям: \[ \sigma = \frac{|N|}{A} \le [\sigma] \implies A \ge \frac{|N|}{[\sigma]} \] Проверим каждый участок, чтобы найти минимально необходимое значение площади \( A \): Для 1-го участка (площадь \( A/k \)): \[ \frac{|N_1|}{A/k} \le [\sigma] \implies A \ge \frac{|N_1| \cdot k}{[\sigma]} = \frac{125 \cdot 10^3 \cdot 0,9}{500 \cdot 10^6} = 0,000225 \text{ м}^2 = 2,25 \text{ см}^2 \] Для 2-го участка (площадь \( kA \)): \[ \frac{|N_2|}{kA} \le [\sigma] \implies A \ge \frac{|N_2|}{k \cdot [\sigma]} = \frac{237,5 \cdot 10^3}{0,9 \cdot 500 \cdot 10^6} \approx 0,0005278 \text{ м}^2 = 5,28 \text{ см}^2 \] Для 3-го участка (площадь \( A \)): \[ \frac{|N_3|}{A} \le [\sigma] \implies A \ge \frac{|N_3|}{[\sigma]} = \frac{98,61 \cdot 10^3}{500 \cdot 10^6} \approx 0,0001972 \text{ м}^2 = 1,97 \text{ см}^2 \] Выбираем наибольшее значение \( A \) из условий прочности: \[ A = 5,28 \text{ см}^2 = 5,28 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \] 4. Вычислим координаты точек приложения сил (согласно формулам на фото): \[ b_1 = \frac{b}{2} = \frac{0,45}{2} = 0,225 \text{ м} \] \[ b_2 = \frac{b}{2} + \frac{b}{2k} = \frac{0,45}{2} + \frac{0,45}{2 \cdot 0,9} = 0,225 + 0,25 = 0,475 \text{ м} \] \[ b_3 = \frac{b}{2k} + kb = \frac{0,45}{2 \cdot 0,9} + 0,9 \cdot 0,45 = 0,25 + 0,405 = 0,655 \text{ м} \] Ответ: Минимально допустимая площадь сечения \( A = 5,28 \text{ см}^2 \).