Задача №70: Решение с таблицей и ОДЗ

Задача №70 Пусть \( x \) км/ч — собственная скорость баржи. По условию скорость течения реки равна 5 км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна \( (x + 5) \) км/ч, а против течения — \( (x - 5) \) км/ч. Составим таблицу для наглядности: Направление | Расстояние (S), км | Скорость (v), км/ч | Время (t), ч --- | --- | --- | --- По течению | 32 | \( x + 5 \) | \( \frac{32}{x + 5} \) Против течения | 24 | \( x - 5 \) | \( \frac{24}{x - 5} \) Зная, что на весь путь затрачено 4 часа, составим уравнение: \[ \frac{32}{x + 5} + \frac{24}{x - 5} = 4 \] ОДЗ (Область допустимых значений): \[ \begin{cases} x + 5 \neq 0 \\ x - 5 \neq 0 \\ x > 5 \text{ (скорость баржи должна быть больше скорости течения)} \end{cases} \] \[ x \neq -5; x \neq 5; x > 5 \] Решим уравнение, умножив обе части на \( (x + 5)(x - 5) \): \[ 32(x - 5) + 24(x + 5) = 4(x^2 - 25) \] \[ 32x - 160 + 24x + 120 = 4x^2 - 100 \] \[ 56x - 40 = 4x^2 - 100 \] Разделим всё уравнение на 4 для упрощения: \[ 14x - 10 = x^2 - 25 \] \[ x^2 - 14x - 15 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \] \[ \sqrt{D} = 16 \] Находим корни уравнения: \[ x_1 = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] \[ x_2 = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] Корень \( x_2 = -1 \) не подходит по смыслу задачи (скорость не может быть отрицательной и должна удовлетворять ОДЗ \( x > 5 \)). Значит, собственная скорость баржи равна 15 км/ч. Ответ: 15 км/ч.