Отрицание формулы с квантором: пошаговое решение

Задание: Записать отрицание формулы \( \forall x ((P(x) \lor Q(x)) \& R(x)) \). Для решения задачи воспользуемся правилами построения отрицания для формул с кванторами и законами де Моргана. 1. Правило отрицания квантора всеобщности: \[ \neg (\forall x F(x)) \equiv \exists x (\neg F(x)) \] 2. Законы де Моргана: \[ \neg (A \& B) \equiv \neg A \lor \neg B \] \[ \neg (A \lor B) \equiv \neg A \& \neg B \] Пошаговое решение: 1. Запишем отрицание всей формулы: \[ \neg (\forall x ((P(x) \lor Q(x)) \& R(x))) \] 2. Перенесем отрицание через квантор (квантор \( \forall \) меняется на \( \exists \)): \[ \exists x \neg ((P(x) \lor Q(x)) \& R(x)) \] 3. Применим закон де Моргана для конъюнкции (отрицание "И" меняется на "ИЛИ"): \[ \exists x (\neg (P(x) \lor Q(x)) \lor \neg R(x)) \] 4. Применим закон де Моргана для дизъюнкции внутри скобок (отрицание "ИЛИ" меняется на "И"): \[ \exists x ((\neg P(x) \& \neg Q(x)) \lor \neg R(x)) \] Ответ: \[ \exists x ((\neg P(x) \& \neg Q(x)) \lor \neg R(x)) \]