Решение: Крутящие моменты и Расчет вала на прочность

4. Расчет вала на прочность и жесткость Дано: \(l = 0,6\) м \(M_1 = 85\) Нм \(M_2 = 210\) Нм \(M_3 = 490\) Нм \(m = 120\) Нм/м \(k = 1\) \([\tau] = 96\) МПа \([\theta] = 0,5\) град/м Решение: 1. Определение реактивного момента \(M_4\) из условия равновесия вала. Сумма всех моментов относительно оси вала должна быть равна нулю: \[\sum M = 0\] \[M_1 + M_2 - M_3 + m \cdot l + M_4 = 0\] (Направление моментов принимаем согласно схеме: по часовой стрелке — плюс, против — минус. \(M_3\) направлен в противоположную сторону относительно \(M_1\) и \(M_2\)). Подставим значения: \[85 + 210 - 490 + 120 \cdot 0,6 + M_4 = 0\] \[85 + 210 - 490 + 72 + M_4 = 0\] \[-123 + M_4 = 0 \Rightarrow M_4 = 123 \text{ Нм}\] 2. Составление уравнений крутящих моментов \(M_z\) по участкам. Разобьем вал на три участка. Границами участков являются точки приложения сосредоточенных моментов и начало/конец распределенной нагрузки. Участок 1: \(0 \le z_1 < l\) (от левого края до \(M_2\)) \[M_{z1} = -M_1 = -85 \text{ Нм}\] Участок 2: \(0 \le z_2 < l\) (от \(M_2\) до \(M_3\)) На этом участке действует распределенный момент \(m\). \[M_{z2} = -M_1 - M_2 - m \cdot z_2\] При \(z_2 = 0\): \(M_{z2} = -85 - 210 = -295 \text{ Нм}\) При \(z_2 = l = 0,6\): \(M_{z2} = -295 - 120 \cdot 0,6 = -295 - 72 = -367 \text{ Нм}\) Участок 3: \(0 \le z_3 < kl\) (от \(M_3\) до правого края) Так как \(k=1\), длина участка \(0,6\) м. \[M_{z3} = -M_1 - M_2 - m \cdot l + M_3\] \[M_{z3} = -85 - 210 - 72 + 490 = 123 \text{ Нм}\] Проверка: значение на правом конце совпадает с найденным моментом \(M_4\) (с обратным знаком при отсечении правой части), что подтверждает правильность расчетов. 3. Построение эпюры крутящих моментов \(M_z\). Для построения эпюры проводим базовую линию параллельно оси вала и откладываем полученные значения: - На первом участке — горизонтальная линия на уровне \(-85\). - На втором участке — наклонная линия от \(-295\) до \(-367\). - На третьем участке — горизонтальная линия на уровне \(123\). Значения на эпюре (в Нм): Участок 1: \(-85\) Участок 2: от \(-295\) до \(-367\) Участок 3: \(123\)