Задача 1.
Двое часов начали бить одновременно, и когда они снова пробили совместно с ними начали бить третьи часы. Первые часы бьют каждые 2 секунды, вторые бьют каждые 3 секунды, третьи - каждые 5 секунд. Сколько всего ударов пробили часы от общего начала боя двух часов до последнего общего удара 3-х часов, если совместные удары слышатся как один?
Решение:
1. Найдем, когда первые два часа бьют одновременно. Это происходит через НОК(2, 3) = 6 секунд. В этот момент (на 6-й секунде) начинают бить третьи часы.
2. Найдем, когда все три часа пробьют одновременно. Это произойдет через НОК(2, 3, 5) = 30 секунд после того, как начали бить третьи часы. Так как третьи часы начали бить на 6-й секунде от общего начала, то последний общий удар всех трех часов произойдет на 6 + 30 = 36-й секунде.
3. Таким образом, нас интересует интервал времени от 0 до 36 секунд.
4. Посчитаем количество ударов для каждого часа за 36 секунд, учитывая, что совместные удары слышатся как один. Используем формулу включений-исключений.
- Удары первых часов (каждые 2 с): \( N_1 = \frac{36}{2} + 1 = 19 \)
- Удары вторых часов (каждые 3 с): \( N_2 = \frac{36}{3} + 1 = 13 \)
- Удары третьих часов (каждые 5 с, начиная с 6-й с): \( N_3 = \frac{36 - 6}{5} + 1 = 7 \)
5. Найдем количество совместных ударов:
- Удары 1 и 2 (каждые НОК(2,3)=6 с): \( N_{12} = \frac{36}{6} + 1 = 7 \)
- Удары 1 и 3 (каждые НОК(2,5)=10 с, но третьи часы начинают с 6-й с. Моменты: 6, 16, 26, 36): \( N_{13} = 4 \)
- Удары 2 и 3 (каждые НОК(3,5)=15 с, но третьи часы начинают с 6-й с. Моменты: 6, 21, 36): \( N_{23} = 3 \)
- Удары 1, 2 и 3 (каждые НОК(2,3,5)=30 с, но третьи часы начинают с 6-й с. Моменты: 6, 36): \( N_{123} = 2 \)
6. Применим формулу включений-исключений для общего числа уникальных ударов:
Всего ударов = \( N_1 + N_2 + N_3 - N_{12} - N_{13} - N_{23} + N_{123} \)
Всего ударов = \( 19 + 13 + 7 - 7 - 4 - 3 + 2 \)
Всего ударов = \( 39 - 14 + 2 \)
Всего ударов = \( 27 \)
Ответ: 27.