Решение задачи: Свойства медиан, высот, биссектрис в равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник обладает уникальной симметрией, благодаря которой отрезки, проведенные к его боковым сторонам, обладают особыми свойствами. Рассмотрим равнобедренный треугольник \(ABC\), где \(AB = BC\) (боковые стороны), а \(AC\) — основание. 1. Свойство медиан Медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Если \(M_1\) — середина \(BC\), а \(M_2\) — середина \(AB\), то медианы \(AM_1\) и \(CM_2\) равны: \[AM_1 = CM_2\] Доказывается это через равенство треугольников \(ABM_1\) и \(CBM_2\) по первому признаку (две стороны и угол между ними). 2. Свойство высот Высоты, опущенные на боковые стороны равнобедренного треугольника, равны между собой. Пусть \(AH_1 \perp BC\) и \(CH_2 \perp AB\). Тогда: \[AH_1 = CH_2\] Длина такой высоты может быть вычислена через основание \(b\) и угол при основании \(\alpha\): \[h = b \cdot \sin(\alpha)\] 3. Свойство биссектрис Биссектрисы углов при основании, проведенные к боковым сторонам, равны между собой. Если \(AL_1\) и \(CL_2\) — биссектрисы углов \(A\) и \(C\), то: \[AL_1 = CL_2\] Это следует из равенства треугольников \(AL_1C\) и \(CL_2A\) по второму признаку (сторона \(AC\) общая, углы при основании равны, и половины этих углов также равны). 4. Точка пересечения Важно помнить, что в равнобедренном треугольнике: — Точки пересечения медиан, высот и биссектрис лежат на одной прямой — на высоте (медиане, биссектрисе), проведенной к основанию. — Сама высота, проведенная к основанию \(AC\), является одновременно и медианой, и биссектрисой. Запись в тетрадь: В равнобедренном треугольнике медианы, высоты и биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, соответственно равны. 1. \(m_a = m_c\) 2. \(h_a = h_c\) 3. \(l_a = l_c\)