Решение задачи №3: Теорема синусов

Задача №3 Дано: \( R \) — радиус описанной окружности. Пусть \( a \) и \( b \) — стороны треугольника. По условию: 1) \( R = a \) (радиус равен одной стороне). 2) \( R = \frac{b}{\sqrt{2}} \) (радиус в \( \sqrt{2} \) раз меньше другой стороны), отсюда \( b = R\sqrt{2} \). Найти: углы треугольника \( \alpha, \beta, \gamma \). Решение: Воспользуемся теоремой синусов: \[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = 2R \] 1. Найдем угол \( \alpha \), противолежащий стороне \( a \): \[ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R \] Так как \( a = R \), подставим: \[ \frac{R}{\sin \alpha} = 2R \] \[ \sin \alpha = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \] Отсюда угол \( \alpha \) может быть равен \( 30^\circ \) или \( 150^\circ \). 2. Найдем угол \( \beta \), противолежащий стороне \( b \): \[ \frac{b}{\sin \beta} = 2R \] Так как \( b = R\sqrt{2} \), подставим: \[ \frac{R\sqrt{2}}{\sin \beta} = 2R \] \[ \sin \beta = \frac{R\sqrt{2}}{2R} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Отсюда угол \( \beta \) может быть равен \( 45^\circ \) или \( 135^\circ \). 3. Рассмотрим возможные комбинации углов (сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \)): Случай 1: \( \alpha = 30^\circ \), \( \beta = 45^\circ \). Тогда третий угол \( \gamma = 180^\circ - (30^\circ + 45^\circ) = 105^\circ \). Это решение подходит. Случай 2: \( \alpha = 30^\circ \), \( \beta = 135^\circ \). Тогда третий угол \( \gamma = 180^\circ - (30^\circ + 135^\circ) = 15^\circ \). Это решение подходит. Случай 3: \( \alpha = 150^\circ \), \( \beta = 45^\circ \). Сумма \( 150^\circ + 45^\circ = 195^\circ \), что больше \( 180^\circ \). Решения нет. Случай 4: \( \alpha = 150^\circ \), \( \beta = 135^\circ \). Сумма больше \( 180^\circ \). Решения нет. Ответ: Задача имеет 2 решения. Углы треугольника могут быть: 1) \( 30^\circ, 45^\circ, 105^\circ \); 2) \( 30^\circ, 135^\circ, 15^\circ \).