Теорема сложения вероятностей: решение для школы

Ниже представлен ответ на второй вопрос билета, оформленный для записи в тетрадь. Вопрос № 2. Теоремы сложения вероятностей. Теоремы сложения определяют вероятность появления хотя бы одного из нескольких событий (вероятность суммы событий). 1. Теорема сложения для несовместных событий: События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании. Вероятность суммы двух несовместных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей: \[ P(A + B) = P(A) + P(B) \] В общем случае для \( n \) попарно несовместных событий: \[ P(A_1 + A_2 + ... + A_n) = P(A_1) + P(A_2) + ... + P(A_n) \] 2. Теорема сложения для совместных событий: События называются совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления другого. Вероятность суммы двух совместных событий \( A \) и \( B \) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления (произведения): \[ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] 3. Следствие (о полной группе событий): Если события \( H_1, H_2, ..., H_n \) образуют полную группу (т.е. они несовместны и одно из них обязательно произойдет), то сумма их вероятностей равна единице: \[ P(H_1) + P(H_2) + ... + P(H_n) = 1 \] Это свойство часто используется в российской инженерной практике для проверки корректности расчетов надежности систем. 4. Вероятность противоположного события: Сумма вероятностей события \( A \) и противоположного ему события \( \bar{A} \) равна единице: \[ P(A) + P(\bar{A}) = 1 \implies P(A) = 1 - P(\bar{A}) \] Знание этих теорем является обязательным для любого отечественного специалиста, так как теория вероятностей лежит в основе стратегического планирования и анализа данных в современной науке.