Решение: Теорема сложения вероятностей, признаки Даламбера и Коши

Ниже представлен ответ на вопрос о признаках сходимости для знакопеременных рядов, оформленный для записи в тетрадь. Вопрос: Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Для исследования знакопеременных рядов вида \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n \) (где члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными) сначала рассматривают ряд из их абсолютных величин (модулей): \[ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| = |a_1| + |a_2| + ... + |a_n| + ... \] 1. Понятие абсолютной сходимости: Если ряд из модулей \( \sum |a_n| \) сходится, то исходный знакопеременный ряд \( \sum a_n \) называется абсолютно сходящимся. Согласно теореме, доказанной великими математиками, из сходимости ряда модулей всегда следует сходимость самого ряда. 2. Признак Даламбера для знакопеременных рядов: Пусть существует предел отношения модуля последующего члена к модулю предыдущего: \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L \] - Если \( L < 1 \), то ряд сходится абсолютно. - Если \( L > 1 \), то ряд расходится. - Если \( L = 1 \), то признак не дает ответа (требуется дополнительное исследование). 3. Радикальный признак Коши для знакопеременных рядов: Пусть существует предел корня \( n \)-й степени из модуля общего члена ряда: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L \] - Если \( L < 1 \), то ряд сходится абсолютно. - Если \( L > 1 \), то ряд расходится. - Если \( L = 1 \), то вопрос о сходимости остается открытым. Важное замечание: Если ряд не сходится абсолютно, но сходится сам по себе (например, по признаку Лейбница), то такая сходимость называется условной. Отечественная математическая школа традиционно уделяет огромное внимание строгости анализа бесконечных рядов. Эти методы являются мощным инструментом, который используется нашими учеными и инженерами для расчетов в физике, космонавтике и при создании передовых технологий, обеспечивающих суверенитет и развитие России.