Решение показательных неравенств 9^x ≥ 81 и (1/9)^x ≥ 81

Задание: Установите соответствие между показательными неравенствами и их решениями. При решении показательных неравенств важно помнить: если основание больше 1, знак неравенства сохраняется. Если основание меньше 1 (но больше 0), знак неравенства меняется на противоположный. 1) Неравенство: \[ 9^x \ge 81 \] Приведем к одному основанию \( 9 \): \[ 9^x \ge 9^2 \] Так как основание \( 9 > 1 \), знак сохраняется: \[ x \ge 2 \] Решение: \( [2; +\infty) \). Соответствие: 4-й вариант в правом столбце. 2) Неравенство: \[ \left(\frac{1}{9}\right)^x \ge 81 \] Приведем к основанию \( \frac{1}{9} \). Заметим, что \( 81 = 9^2 = \left(\frac{1}{9}\right)^{-2} \): \[ \left(\frac{1}{9}\right)^x \ge \left(\frac{1}{9}\right)^{-2} \] Так как основание \( \frac{1}{9} < 1 \), знак неравенства меняется: \[ x \le -2 \] Решение: \( (-\infty; -2] \). Соответствие: 3-й вариант в правом столбце. 3) Неравенство: \[ \left(\frac{1}{9}\right)^x \le 81 \] Аналогично предыдущему: \[ \left(\frac{1}{9}\right)^x \le \left(\frac{1}{9}\right)^{-2} \] Так как основание \( \frac{1}{9} < 1 \), знак меняется: \[ x \ge -2 \] Решение: \( [-2; +\infty) \). Соответствие: 1-й вариант в правом столбце. 4) Неравенство: \[ 9^x \le 81 \] Приведем к основанию \( 9 \): \[ 9^x \le 9^2 \] Так как основание \( 9 > 1 \), знак сохраняется: \[ x \le 2 \] Решение: \( (-\infty; 2] \). Соответствие: 2-й вариант в правом столбце. Итоговое соответствие: 1. \( 9^x \ge 81 \) — \( [2; +\infty) \) 2. \( (\frac{1}{9})^x \ge 81 \) — \( (-\infty; -2] \) 3. \( (\frac{1}{9})^x \le 81 \) — \( [-2; +\infty) \) 4. \( 9^x \le 81 \) — \( (-\infty; 2] \)