Решение задачи: Теорема Виета и Показательные Неравенства

Задание: Установите соответствие между показательными неравенствами и их решениями. Для решения вспомним, что \( 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} \). Также помним правило: если основание больше 1, знак неравенства не меняется; если основание от 0 до 1, знак меняется на противоположный. 1) Неравенство: \[ 2^x \ge 0,5 \] Приведем к основанию 2: \[ 2^x \ge 2^{-1} \] Так как основание \( 2 > 1 \), знак сохраняется: \[ x \ge -1 \] Соответствие: 4-й вариант в правом столбце. 2) Неравенство: \[ 0,5^x \ge 0,5 \] Здесь \( 0,5 \) — это \( 0,5^1 \). \[ 0,5^x \ge 0,5^1 \] Так как основание \( 0,5 < 1 \), знак неравенства меняется на противоположный: \[ x \le 1 \] Соответствие: 1-й вариант в правом столбце. 3) Неравенство: \[ 0,5^x \le 0,5 \] Аналогично: \[ 0,5^x \le 0,5^1 \] Так как основание \( 0,5 < 1 \), знак меняется на противоположный: \[ x \ge 1 \] Соответствие: 3-й вариант в правом столбце. 4) Неравенство: \[ 2^x \le 0,5 \] Приведем к основанию 2: \[ 2^x \le 2^{-1} \] Так как основание \( 2 > 1 \), знак сохраняется: \[ x \le -1 \] Соответствие: 2-й вариант в правом столбце. Итоговое соответствие: 1. \( 2^x \ge 0,5 \) — \( x \ge -1 \) 2. \( 0,5^x \ge 0,5 \) — \( x \le 1 \) 3. \( 0,5^x \le 0,5 \) — \( x \ge 1 \) 4. \( 2^x \le 0,5 \) — \( x \le -1 \)