Решение задачи: Расчет теплоты, выделяющейся в проводнике

Дано: R = 100 Ом \( I_0 = 0 \) А \( I_{max} = 10 \) А t = 30 с Найти: Q — ? Решение: Согласно закону Джоуля-Ленца, количество теплоты, выделяющееся в проводнике за бесконечно малый промежуток времени dt, равно: \[ dQ = I^2(t) \cdot R \cdot dt \] Так как сила тока нарастает равномерно, зависимость тока от времени описывается линейной функцией: \[ I(t) = I_0 + k \cdot t \] Поскольку \( I_0 = 0 \), то \( I(t) = k \cdot t \). Коэффициент пропорциональности k найдем из условия, что за время t ток достигает значения \( I_{max} \): \[ k = \frac{I_{max}}{t} \] Следовательно: \[ I(t) = \frac{I_{max}}{t} \cdot \tau \] (здесь \(\tau\) — текущее время от 0 до t). Подставим выражение для тока в формулу для теплоты и проинтегрируем: \[ Q = \int_{0}^{t} \left( \frac{I_{max}}{t} \cdot \tau \right)^2 \cdot R \cdot d\tau \] \[ Q = \frac{I_{max}^2 \cdot R}{t^2} \int_{0}^{t} \tau^2 d\tau \] \[ Q = \frac{I_{max}^2 \cdot R}{t^2} \cdot \left[ \frac{\tau^3}{3} \right]_0^t \] \[ Q = \frac{I_{max}^2 \cdot R}{t^2} \cdot \frac{t^3}{3} = \frac{I_{max}^2 \cdot R \cdot t}{3} \] Произведем расчет: \[ Q = \frac{10^2 \cdot 100 \cdot 30}{3} = \frac{100 \cdot 100 \cdot 30}{3} = 10000 \cdot 10 = 100000 \text{ Дж} \] \[ Q = 100 \text{ кДж} \] Ответ: Q = 100 кДж.