Решение задачи №645

Решение задачи №645. Для того чтобы доказать, что выражение принимает отрицательные значения при любых значениях \(x\), необходимо упростить данное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые. Запишем исходное выражение: \[2x(x - 6) - 3(x^2 - 4x + 1)\] 1. Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения: \[2x \cdot x - 2x \cdot 6 - (3 \cdot x^2 - 3 \cdot 4x + 3 \cdot 1)\] \[2x^2 - 12x - (3x^2 - 12x + 3)\] 2. Раскроем скобки, перед которыми стоит знак «минус», меняя знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные: \[2x^2 - 12x - 3x^2 + 12x - 3\] 3. Приведем подобные слагаемые: Слагаемые с \(x^2\): \(2x^2 - 3x^2 = -x^2\) Слагаемые с \(x\): \(-12x + 12x = 0\) Свободный член: \(-3\) Получаем итоговое выражение: \[-x^2 - 3\] 4. Проанализируем полученный результат: Известно, что квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть \(x^2 \ge 0\) для любого \(x\). Следовательно, выражение \(-x^2\) всегда будет неположительным: \(-x^2 \le 0\). Если мы из числа, которое меньше или равно нулю, вычтем положительное число \(3\), то результат всегда будет строго меньше нуля: \[-x^2 - 3 < 0\] Вывод: так как при любом значении \(x\) выражение принимает вид \(-x^2 - 3\), а это значение всегда отрицательно, утверждение доказано.