Решение самостоятельной работы по алгебре. Квадратные уравнения. Вариант 7

Самостоятельная работа по алгебре Тема: Квадратные уравнения Вариант - 7 Задание 1 \[ 3x^2 - 15x = 0 \] Вынесем общий множитель за скобки: \[ 3x(x - 5) = 0 \] Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \[ 3x = 0 \text{ или } x - 5 = 0 \] \[ x_1 = 0; \quad x_2 = 5 \] Ответ: 0; 5. Задание 2 \[ 3x^2 + 2x - 1 = 0 \] Решим через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \] \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Ответ: -1; \( \frac{1}{3} \). Задание 3 \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -3 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -4 \] Подбором находим корни: \[ x_1 = -4; \quad x_2 = 1 \] Ответ: -4; 1. Задание 4 \[ x^4 - 9x^2 + 20 = 0 \] Это биквадратное уравнение. Пусть \( x^2 = t \), где \( t \ge 0 \). \[ t^2 - 9t + 20 = 0 \] По теореме Виета: \[ t_1 + t_2 = 9 \] \[ t_1 \cdot t_2 = 20 \] Получаем \( t_1 = 4 \), \( t_2 = 5 \). Вернемся к замене: 1) \( x^2 = 4 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 2 \) 2) \( x^2 = 5 \Rightarrow x_{3,4} = \pm \sqrt{5} \) Ответ: -2; 2; \( -\sqrt{5} \); \( \sqrt{5} \). Задание 5 \[ \frac{x}{x - 6} = \frac{1}{x + 3} \] ОДЗ: \( x \neq 6, x \neq -3 \). Используем свойство пропорции: \[ x(x + 3) = 1(x - 6) \] \[ x^2 + 3x = x - 6 \] \[ x^2 + 2x + 6 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20 \] Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет.