Решение: Задание 1 №3 - Вычисление логарифмического выражения

Задание 1 (номер 3) требует вычислить значение выражения: \[\frac{1}{4} \log_{3} \frac{16}{81} - \frac{1}{3} \log_{3} \frac{8}{27}\] Объяснение по шагам: 1. Используем свойство логарифма степени: \(n \log_{a} b = \log_{a} (b^n)\). Внесем множители перед логарифмами внутрь как показатели степени: \[\log_{3} \left( \frac{16}{81} \right)^{\frac{1}{4}} - \log_{3} \left( \frac{8}{27} \right)^{\frac{1}{3}}\] 2. Вычислим значения выражений в степенях. Возвести в степень \(\frac{1}{4}\) — это то же самое, что извлечь корень четвертой степени, а в степень \(\frac{1}{3}\) — корень кубический: \[\left( \frac{16}{81} \right)^{\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{2}{3}\] \[\left( \frac{8}{27} \right)^{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3}\] 3. Подставим полученные значения обратно в выражение: \[\log_{3} \frac{2}{3} - \log_{3} \frac{2}{3}\] 4. Так как мы вычитаем два одинаковых числа, результат равен нулю: \[\log_{3} \frac{2}{3} - \log_{3} \frac{2}{3} = 0\] Ответ: 0.