Решение: Третье задание обьясни Реши задачу: Задание 1

Вариант 2 Задание 1. Вычислите: 1) \(\log_{0,5} \frac{1}{4} = \log_{0,5} (0,5)^2 = 2\) 2) \(\log_{5} 50 - \log_{5} 2 = \log_{5} \frac{50}{2} = \log_{5} 25 = \log_{5} 5^2 = 2\) 3) \(2 \log_{10} 3 - \frac{1}{2} \log_{10} 0,81 = \log_{10} 3^2 - \log_{10} \sqrt{0,81} = \log_{10} 9 - \log_{10} 0,9 = \log_{10} \frac{9}{0,9} = \log_{10} 10 = 1\) Задание 2. Сравните \(\log_{3} 3,5\) и \(\log_{3} 5,6\). Так как основание логарифма \(3 > 1\), то логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Так как \(3,5 < 5,6\), то \(\log_{3} 3,5 < \log_{3} 5,6\). Задание 3. Найдите область определения функции \(y = \lg(4x + 5)\). Выражение под знаком логарифма должно быть строго больше нуля: \[4x + 5 > 0\] \[4x > -5\] \[x > -1,25\] Ответ: \(x \in (-1,25; +\infty)\). Задание 4. Решите уравнение: 1) \(\log_{25} (3x - 1) = \frac{1}{2}\) По определению логарифма: \[3x - 1 = 25^{\frac{1}{2}}\] \[3x - 1 = \sqrt{25}\] \[3x - 1 = 5\] \[3x = 6\] \[x = 2\] Проверка: \(3 \cdot 2 - 1 = 5 > 0\). Ответ: 2. 2) \(\log_{7} (x^2 - 12x - 4) = \log_{7} (8 - x)\) Переходим к равенству аргументов: \[x^2 - 12x - 4 = 8 - x\] \[x^2 - 11x - 12 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = 12, x_2 = -1\] Проверим ОДЗ (\(8 - x > 0\)): Для \(x_1 = 12\): \(8 - 12 = -4 < 0\) (не подходит). Для \(x_2 = -1\): \(8 - (-1) = 9 > 0\) (подходит). Ответ: -1. Задание 5. Вычислите значение выражения: \[\frac{\lg 300 - \lg 3}{3 \log_{6} 2 + \log_{6} 27} = \frac{\lg \frac{300}{3}}{\log_{6} 2^3 + \log_{6} 27} = \frac{\lg 100}{\log_{6} (8 \cdot 27)} = \frac{2}{\log_{6} 216} = \frac{2}{3}\] Задание 6. Решите уравнение: 1) \(\log_{6} (x + 1) + \log_{6} (2x + 1) = 1\) ОДЗ: \(x + 1 > 0\) и \(2x + 1 > 0\), то есть \(x > -0,5\). \[\log_{6} ((x + 1)(2x + 1)) = 1\] \[(x + 1)(2x + 1) = 6^1\] \[2x^2 + x + 2x + 1 = 6\] \[2x^2 + 3x - 5 = 0\] Находим дискриминант: \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\). \[x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1, x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -2,5\] С учетом ОДЗ (\(x > -0,5\)) подходит только \(x = 1\). Ответ: 1. 2) \(\log_{5} x + \log_{x} 5 = 2\) ОДЗ: \(x > 0, x \neq 1\). Пусть \(\log_{5} x = t\), тогда \(\log_{x} 5 = \frac{1}{t}\). \[t + \frac{1}{t} = 2\] \[t^2 - 2t + 1 = 0\] \[(t - 1)^2 = 0\] \[t = 1\] Возвращаемся к замене: \[\log_{5} x = 1\] \[x = 5^1 = 5\] Ответ: 5.