Решение задачи 651: Нахождение стороны подобного треугольника

Задача №651 Дано: \(S_1 = 75\) \(м^2\) — площадь первого треугольника; \(S_2 = 300\) \(м^2\) — площадь второго треугольника; \(a_2 = 9\) м — сторона второго треугольника. Найти: \(a_1\) — сходственную сторону первого треугольника. Решение: 1. Известно, что площади подобных треугольников относятся как квадраты их сходственных сторон (или как квадрат коэффициента подобия \(k\)). Запишем это соотношение: \[ \frac{S_1}{S_2} = \left( \frac{a_1}{a_2} \right)^2 \] 2. Подставим известные значения площадей в формулу, чтобы найти квадрат отношения сторон: \[ \frac{75}{300} = \left( \frac{a_1}{9} \right)^2 \] 3. Сократим дробь в левой части уравнения: \[ \frac{75}{300} = \frac{1}{4} \] Следовательно: \[ \left( \frac{a_1}{9} \right)^2 = \frac{1}{4} \] 4. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: \[ \frac{a_1}{9} = \sqrt{\frac{1}{4}} \] \[ \frac{a_1}{9} = \frac{1}{2} \] 5. Найдем \(a_1\) по правилу пропорции: \[ a_1 = \frac{9 \cdot 1}{2} \] \[ a_1 = 4,5 \] (м) Ответ: 4,5 м. Задача №656 Дано: \(a_1 = 15\) см, \(b_1 = 20\) см, \(c_1 = 30\) см — стороны первого треугольника; \(P_2 = 26\) см — периметр второго треугольника, подобного первому. Найти: \(a_2, b_2, c_2\) — стороны второго треугольника. Решение: 1. Найдем периметр первого треугольника (\(P_1\)), сложив длины всех его сторон: \[ P_1 = a_1 + b_1 + c_1 \] \[ P_1 = 15 + 20 + 30 = 65 \] (см) 2. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия \(k\). Найдем этот коэффициент: \[ k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{26}{65} \] Сократим дробь на 13: \[ k = \frac{2}{5} = 0,4 \] 3. Стороны второго треугольника пропорциональны сторонам первого с коэффициентом \(k\). Вычислим их: \[ a_2 = a_1 \cdot k = 15 \cdot 0,4 = 6 \] (см) \[ b_2 = b_1 \cdot k = 20 \cdot 0,4 = 8 \] (см) \[ c_2 = c_1 \cdot k = 30 \cdot 0,4 = 12 \] (см) 4. Проверка: \(6 + 8 + 12 = 26\) см. Периметр совпадает с условием. Ответ: 6 см, 8 см, 12 см.