Определение глубины лунки при разливке стали: пошаговое решение

Задача: Определить глубину лунки жидкого металла при непрерывной разливке стали. Дано: Сечение заготовки: \( a \times b = 220 \times 950 \) мм Скорость вытягивания: \( v = 1,3 \) м/мин Коэффициент затвердевания: \( k = 26,8 \) мм/мин\(^{0,5}\) Найти: Глубина лунки \( L \) — ? Решение: 1. Глубина лунки жидкого металла определяется временем полного затвердевания заготовки по всей толщине. Для прямоугольного сечения критическим параметром является половина его наименьшей стороны (толщины). Обозначим половину толщины заготовки как \( \xi \): \[ \xi = \frac{a}{2} = \frac{220}{2} = 110 \text{ мм} \] 2. Согласно закону затвердевания (закон "квадратного корня"), толщина затвердевшего слоя \( \xi \) связана со временем \( \tau \) формулой: \[ \xi = k \cdot \sqrt{\tau} \] Отсюда выразим время полного затвердевания \( \tau \): \[ \sqrt{\tau} = \frac{\xi}{k} \] \[ \tau = \left( \frac{\xi}{k} \right)^2 \] 3. Подставим численные значения для нахождения времени: \[ \tau = \left( \frac{110}{26,8} \right)^2 \approx (4,10447...)^2 \approx 16,8467 \text{ мин} \] 4. Глубина лунки \( L \) — это расстояние, которое проходит заготовка за время полного затвердевания \( \tau \) со скоростью вытягивания \( v \): \[ L = v \cdot \tau \] Подставим значения: \[ L = 1,3 \cdot 16,8467 \approx 21,9007 \text{ м} \] 5. Округлим полученный результат до целого значения, как того требует условие задачи: \[ L \approx 22 \text{ м} \] Ответ: 22