schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение уравнения (2p - 3)^2 = 11p - 19: Пошаговое руководство
help_outlineУсловие задачи
Твоя задача написать пошаговое правильное решение задачи. Это очень важная задача, используй только проверенные научные знания. Каждый шаг должен быть описан правильно. Всё обязательно должно быть корректно посчитано. Если ты ошибся пересчитывай пока не получишь правильное решение. Все детали задачи должны быть соблюдены. Пиши понятно для школьников. Решение должно быть логичным и воспроизводимым. Перепроверь решение много раз, предоставляй только правильное решение: Реши задачу:
lightbulbКраткий ответ
Чтобы решить уравнение (2p - 3)^2 = 11p - 19, раскройте скобки, приведите к квадратному уравнению и найдите корни через дискриминант. Подробное решение с объяснениями внутри.
Подробное решение
Решение уравнения:
\[ (2p - 3)^2 = 11p - 19 \]
1. Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу квадрата разности \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \):
\[ (2p)^2 - 2 \cdot 2p \cdot 3 + 3^2 = 11p - 19 \]
\[ 4p^2 - 12p + 9 = 11p - 19 \]
2. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль, и приведем подобные слагаемые:
\[ 4p^2 - 12p + 9 - 11p + 19 = 0 \]
\[ 4p^2 - 23p + 28 = 0 \]
3. Получили квадратное уравнение вида \( ap^2 + bp + c = 0 \). Выпишем коэффициенты:
\( a = 4 \), \( b = -23 \), \( c = 28 \).
4. Найдем дискриминант по формуле \( D = b^2 - 4ac \):
\[ D = (-23)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 28 \]
\[ D = 529 - 448 \]
\[ D = 81 \]
Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Вычислим корень из дискриминанта: \( \sqrt{D} = \sqrt{81} = 9 \).
5. Найдем корни уравнения по формуле \( p = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):
\[ p_1 = \frac{23 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4 \]
\[ p_2 = \frac{23 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{14}{8} = 1,75 \]
Ответ: \( p_1 = 4 \); \( p_2 = 1,75 \).