Сопоставление формул в колебательном контуре: решение задачи

Для того чтобы сопоставить формулы, проанализируем закон изменения заряда: \[q(t) = Q \sin(\omega_0 t)\] 1. Найдем силу тока в контуре \(i(t)\) как производную заряда по времени: \[i(t) = \frac{dq}{dt} = Q \omega_0 \cos(\omega_0 t)\] Амплитуда тока \(I_m = Q \omega_0\). 2. Рассмотрим первую формулу: \(Q^2 \omega_0^2 L / 2\) Это выражение можно переписать как: \[\frac{L (Q \omega_0)^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}\] Это формула максимальной энергии магнитного поля катушки, которая в идеальном контуре равна полной энергии. Ответ: полной энергии контура. 3. Рассмотрим вторую формулу: \((Q^2 \omega_0^2 L / 4)(1 - \cos 2\omega_0 t)\) Используем тригонометрическую формулу \(1 - \cos 2\alpha = 2 \sin^2 \alpha\): \[\frac{Q^2 \omega_0^2 L}{4} \cdot 2 \sin^2(\omega_0 t) = \frac{L (Q \omega_0 \sin \omega_0 t)^2}{2}\] Так как \(i(t) = Q \omega_0 \cos(\omega_0 t)\), данная формула не совпадает с энергией на индуктивности напрямую через ток. Однако, если рассмотреть энергию на емкости \(W_c = \frac{q^2}{2C}\): \[W_c = \frac{Q^2 \sin^2(\omega_0 t)}{2C}\] Учитывая, что \(\omega_0^2 = \frac{1}{LC}\), то \(\frac{1}{C} = L \omega_0^2\). Тогда: \[W_c = \frac{Q^2 L \omega_0^2 \sin^2(\omega_0 t)}{2} = \frac{Q^2 \omega_0^2 L}{4} (1 - \cos 2\omega_0 t)\] Ответ: энергии на емкости. 4. Рассмотрим третью формулу: \(-(Q/C) \sin \omega_0 t\) Напряжение на емкости \(u_c = \frac{q}{C} = \frac{Q}{C} \sin \omega_0 t\). Согласно правилу Кирхгофа для контура: \(u_L + u_c = 0\), следовательно, напряжение на индуктивности: \[u_L = -u_c = -\frac{Q}{C} \sin \omega_0 t\] Ответ: напряжения на индуктивности. Итоговые соответствия для тетради: 1. \(Q^2 \omega_0^2 L / 2\) — полной энергии контура 2. \((Q^2 \omega_0^2 L / 4)(1 - \cos 2\omega_0 t)\) — энергии на емкости 3. \(-(Q/C) \sin \omega_0 t\) — напряжения на индуктивности