Упрощение тригонометрических выражений: Решение с объяснениями

Ниже представлено решение заданий на упрощение тригонометрических выражений, оформленное для записи в тетрадь. Упростить выражения: 1) \(\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - 1 = 1 - 1 = 0\) 2) \(\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \text{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (1 + \text{tg}^2 \alpha) - \text{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\) 3) \(\text{tg} \alpha \cdot \text{ctg} \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\) 4) \(\frac{\text{ctg} \alpha}{\text{tg} \alpha} + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{\text{ctg} \alpha}{\frac{1}{\text{ctg} \alpha}} + 1 = \text{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\) 5) \(\frac{1}{\sin^2 \alpha} - \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha = (1 + \text{ctg}^2 \alpha) - \text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha\) 6) \((\text{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha) \cdot (\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1) = (\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha) \cdot \text{tg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot (\frac{1}{\sin^2 \alpha} - 1) \cdot \text{tg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot \text{ctg}^2 \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha = \cos^2 \alpha \cdot 1 = \cos^2 \alpha\) 7) \(\frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)} + 2\text{tg}^2 \alpha = \frac{(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)}{1 - \sin^2 \alpha} + 2\text{tg}^2 \alpha = \frac{(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot 1}{\cos^2 \alpha} + 2\text{tg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + 2\text{tg}^2 \alpha = 1 - \text{tg}^2 \alpha + 2\text{tg}^2 \alpha = 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\) 8) \(\frac{1 + \text{tg} \alpha}{1 + \text{ctg} \alpha} = \frac{1 + \text{tg} \alpha}{1 + \frac{1}{\text{tg} \alpha}} = \frac{1 + \text{tg} \alpha}{\frac{\text{tg} \alpha + 1}{\text{tg} \alpha}} = (1 + \text{tg} \alpha) \cdot \frac{\text{tg} \alpha}{1 + \text{tg} \alpha} = \text{tg} \alpha\) 9) \(\sin^4 \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \cdot 1 + \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)