Упрощение переключательной схемы: решение с примером

Для решения данной задачи необходимо составить логическую функцию, соответствующую схеме, а затем упростить её с помощью законов алгебры логики. 1. Составим логическое выражение по схеме. Схема состоит из пяти параллельных ветвей. Каждая ветвь представляет собой последовательное соединение контактов (конъюнкцию). Параллельное соединение ветвей соответствует дизъюнкции. Анализируя рисунок сверху вниз, получаем контакты в ветвях: Первая ветвь: \( \bar{x}, \bar{y}, \bar{z} \) Вторая ветвь: \( \bar{x}, y, \bar{z} \) Третья ветвь: \( x, \bar{y}, \bar{z} \) Четвертая ветвь: \( \bar{x}, y, z \) Пятая ветвь: \( x, y, z \) Запишем общую функцию \( F \): \[ F = (\bar{x} \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}) \lor (\bar{x} \cdot y \cdot \bar{z}) \lor (x \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}) \lor (\bar{x} \cdot y \cdot z) \lor (x \cdot y \cdot z) \] 2. Упростим полученное выражение. Сгруппируем слагаемые для вынесения общих множителей: Вынесем \( \bar{x} \cdot \bar{z} \) из первой и второй скобок: \[ (\bar{x} \cdot \bar{z}) \cdot (\bar{y} \lor y) = (\bar{x} \cdot \bar{z}) \cdot 1 = \bar{x} \cdot \bar{z} \] Вынесем \( y \cdot z \) из четвертой и пятой скобок: \[ (y \cdot z) \cdot (\bar{x} \lor x) = (y \cdot z) \cdot 1 = y \cdot z \] Теперь выражение выглядит так: \[ F = (\bar{x} \cdot \bar{z}) \lor (x \cdot \bar{y} \cdot \bar{z}) \lor (y \cdot z) \] Сгруппируем первое и второе слагаемые, вынеся \( \bar{z} \): \[ \bar{z} \cdot (\bar{x} \lor (x \cdot \bar{y})) \lor (y \cdot z) \] Применим закон дистрибутивности \( A \lor (B \cdot C) = (A \lor B) \cdot (A \lor C) \) к выражению в скобках: \[ \bar{x} \lor (x \cdot \bar{y}) = (\bar{x} \lor x) \cdot (\bar{x} \lor \bar{y}) = 1 \cdot (\bar{x} \lor \bar{y}) = \bar{x} \lor \bar{y} \] Подставим обратно: \[ F = \bar{z} \cdot (\bar{x} \lor \bar{y}) \lor (y \cdot z) = (\bar{z} \cdot \bar{x}) \lor (\bar{z} \cdot \bar{y}) \lor (y \cdot z) \] Применим закон поглощения/склеивания для \( (\bar{z} \cdot \bar{y}) \lor (y \cdot z) \). Заметим, что по закону \( A \cdot B \lor \bar{A} \cdot C \lor B \cdot C = A \cdot B \lor \bar{A} \cdot C \) (в нашем случае это не упрощает до конца). Попробуем другой путь группировки изначальной функции: \[ F = \bar{x} \cdot \bar{z} \cdot (\bar{y} \lor y) \lor y \cdot z \cdot (\bar{x} \lor x) \lor x \cdot \bar{y} \cdot \bar{z} \] \[ F = \bar{x} \cdot \bar{z} \lor y \cdot z \lor x \cdot \bar{y} \cdot \bar{z} \] Сгруппируем первый и третий члены: \[ \bar{z} \cdot (\bar{x} \lor x \cdot \bar{y}) \lor y \cdot z = \bar{z} \cdot (\bar{x} \lor \bar{y}) \lor y \cdot z = \bar{z} \cdot \bar{x} \lor \bar{z} \cdot \bar{y} \lor y \cdot z \] Используя правило \( A \cdot B \lor \bar{A} \cdot C = (A \lor C) \cdot (\bar{A} \lor B) \), или просто оставив в виде суммы: \[ F = \bar{x}\bar{z} \lor \bar{y}\bar{z} \lor yz \] Применим еще раз упрощение для последних двух слагаемых: \( \bar{y}\bar{z} \lor yz \). Это функция "равнозначность" (XNOR) для \( y \) и \( z \), но в контексте схем обычно оставляют так. Однако можно заметить, что \( \bar{y}\bar{z} \lor z = z \lor \bar{y} \). Итоговое упрощенное выражение: \[ F = \bar{x}\bar{z} \lor z \cdot y \lor \bar{z} \cdot \bar{y} \] 3. Построение упрощенной схемы. Схема будет состоять из трех параллельных ветвей: 1. Контакт \( \bar{x} \) последовательно с \( \bar{z} \). 2. Контакт \( y \) последовательно с \( z \). 3. Контакт \( \bar{y} \) последовательно с \( \bar{z} \). В тетради это рисуется так: три горизонтальные линии, соединенные слева и справа в общие узлы. На первой линии два ключа \( \bar{x} \) и \( \bar{z} \), на второй — \( y \) и \( z \), на третьей — \( \bar{y} \) и \( \bar{z} \).