schoolФизика
verifiedРешено AI
Решение задачи: Максимальная возвращающая сила при колебаниях
help_outlineУсловие задачи
Уравнение колебаний имеет вид x=3sin(πt),см Определите максимальную возвращающую силу, действующую в системе, если масса груза 10г. Решение. Из уравнения колебаний видно, что А=3 см , ω=π рад/с. Согласно 2 закону Ньютона, F=ma,тогда Fmax=mamax=mAω=10−2⋅3⋅10−2⋅π≈3,4⋅10−4,Н При решении все величины (масса, амплитуда) были переведены в систему СИ. Напомним, что колебания можно представлять графически.
lightbulbКраткий ответ
Максимальная возвращающая сила равна произведению массы на максимальное ускорение. Для нахождения ускорения используем амплитуду и циклическую частоту.
Подробное решение
Дано:
\(x = 3 \sin(\pi t)\) (см)
\(m = 10\) г = \(0,01\) кг = \(10^{-2}\) кг
Найти:
\(F_{max}\) — ?
Решение:
Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается как:
\[x = A \sin(\omega t)\]
Сопоставляя общее уравнение с заданным \(x = 3 \sin(\pi t)\), определим параметры колебаний:
Амплитуда: \(A = 3\) см = \(0,03\) м = \(3 \cdot 10^{-2}\) м.
Циклическая частота: \(\omega = \pi\) рад/с.
Согласно второму закону Ньютона, возвращающая сила равна:
\[F = ma\]
Максимальное значение силы достигается при максимальном ускорении:
\[F_{max} = m a_{max}\]
Максимальное ускорение \(a_{max}\) связано с амплитудой и циклической частотой формулой:
\[a_{max} = A \omega^2\]
Подставим выражение для ускорения в формулу силы:
\[F_{max} = m A \omega^2\]
Подставим числовые значения:
\[F_{max} = 10^{-2} \cdot 3 \cdot 10^{-2} \cdot \pi^2\]
Принимая \(\pi^2 \approx 9,87\):
\[F_{max} = 3 \cdot 10^{-4} \cdot 9,87 \approx 29,6 \cdot 10^{-4} \text{ Н} \approx 2,96 \cdot 10^{-3} \text{ Н}\]
Если использовать приближение \(\pi^2 \approx 10\), то:
\[F_{max} = 3 \cdot 10^{-4} \cdot 10 = 3 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 0,003 \text{ Н}\]
Ответ: \(F_{max} \approx 3 \cdot 10^{-3}\) Н.