Решение неравенства sin(x) < cos(x)

Решение тригонометрического неравенства: \[ \sin x < \cos x \] Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ \sin x - \cos x < 0 \] Применим метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части неравенства на \( \sqrt{2} \): \[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x < 0 \] Заметим, что \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} \). Тогда выражение можно переписать через формулу синуса разности \( \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \): \[ \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} < 0 \] \[ \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) < 0 \] Решим простейшее неравенство для синуса. Синус отрицателен в третьей и четвертой четвертях: \[ -\pi + 2\pi k < x - \frac{\pi}{4} < 0 + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] Теперь прибавим \( \frac{\pi}{4} \) ко всем частям неравенства, чтобы изолировать \( x \): \[ -\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k \] \[ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi k \] Ответ можно записать в виде интервала: \[ x \in \left( -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k \right), \quad k \in \mathbb{Z} \]