Найти угол MLK в кубе: Решение и ответ

Задача: В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точка \(K\) — середина ребра \(AA_1\), точка \(L\) — середина ребра \(A_1D_1\), точка \(M\) — середина ребра \(A_1B_1\). Найдите угол \(MLK\). Ответ дайте в градусах. Решение: 1. Пусть ребро куба равно \(a\). Так как точки \(K, L, M\) являются серединами соответствующих ребер, то отрезки \(A_1K, A_1L, A_1M\) равны половине ребра куба: \[A_1K = A_1L = A_1M = \frac{a}{2}\] 2. Рассмотрим треугольники \(KA_1L\), \(LA_1M\) и \(MA_1K\). Все они являются прямоугольными, так как ребра куба, выходящие из одной вершины, взаимно перпендикулярны (\(AA_1 \perp A_1D_1\), \(A_1D_1 \perp A_1B_1\), \(A_1B_1 \perp AA_1\)). 3. Найдем длины сторон треугольника \(MLK\) по теореме Пифагора: Из \(\triangle KA_1L\): \(KL = \sqrt{A_1K^2 + A_1L^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) Из \(\triangle LA_1M\): \(LM = \sqrt{A_1L^2 + A_1M^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) Из \(\triangle MA_1K\): \(MK = \sqrt{A_1M^2 + A_1K^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\) 4. Мы видим, что \(KL = LM = MK\). Следовательно, треугольник \(MLK\) является равносторонним. 5. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны \(60^\circ\). Таким образом, угол \(MLK = 60^\circ\). Ответ: 60. Дополнительное задание: Найдите площадь треугольника \(MLK\), если ребро куба равно 2. Решение дополнительного задания: 1. Если ребро куба \(a = 2\), то сторона равностороннего треугольника \(MLK\) равна: \[KL = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\] 2. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot side^2\] 3. Подставим значение стороны: \[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Ответ к доп. заданию: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).