Решение задачи: Найти стороны треугольника QTP в параллелограмме OPRS

Дано: \(OPRS\) — параллелограмм. Точка \(Q\) лежит на стороне \(OP\). \(OQ : QP = 4 : 1\). \(OQ = 16\), \(QS = 24\), \(OS = 20\). \(T\) — точка пересечения прямых \(SQ\) и \(RP\). Найти: стороны треугольника \(QTP\). Решение: 1. Найдем длину отрезка \(QP\). По условию \(OQ : QP = 4 : 1\). Так как \(OQ = 16\), то: \[ \frac{16}{QP} = \frac{4}{1} \] \[ 4 \cdot QP = 16 \] \[ QP = 4 \] Первая сторона треугольника \(QTP\) найдена. 2. Рассмотрим треугольники \(OQS\) и \(PQT\). Так как \(OPRS\) — параллелограмм, то его противоположные стороны параллельны: \(OS \parallel TR\). Следовательно, прямые \(OS\) и \(PT\) параллельны. При пересечении двух параллельных прямых \(OS\) и \(PT\) секущими \(OT\) и \(ST\) образуются равные накрест лежащие углы: \(\angle SOQ = \angle TPQ\) (как накрест лежащие при \(OS \parallel PT\) и секущей \(OP\)). \(\angle OSQ = \angle PTQ\) (как накрест лежащие при \(OS \parallel PT\) и секущей \(ST\)). Также \(\angle OQS = \angle PQT\) как вертикальные. Значит, треугольники \(OQS\) и \(PQT\) подобны по двум углам (\(\triangle OQS \sim \triangle PQT\)). 3. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \[ \frac{PQ}{OQ} = \frac{QT}{QS} = \frac{PT}{OS} \] 4. Найдем коэффициент подобия \(k\): \[ k = \frac{PQ}{OQ} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \] 5. Найдем сторону \(QT\): \[ \frac{QT}{QS} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{QT}{24} = \frac{1}{4} \] \[ QT = \frac{24}{4} = 6 \] 6. Найдем сторону \(PT\): \[ \frac{PT}{OS} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{PT}{20} = \frac{1}{4} \] \[ PT = \frac{20}{4} = 5 \] Таким образом, стороны треугольника \(QTP\) равны: \(QP = 4\), \(QT = 6\), \(PT = 5\). Ответ: \(QP = 4\), \(QT = 6\), \(PT = 5\).