Решение системы дифференциальных уравнений: Задание 7

Задание 7. Решение системы дифференциальных уравнений. Дана система: \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = 3x - 7y \\ \frac{dy}{dt} = 3x + 13y \end{cases} \] с начальными условиями \( x(0) = 9, y(0) = -5 \). 1. Составим характеристическое уравнение матрицы системы: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -7 \\ 3 & 13 \end{pmatrix} \] \[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & -7 \\ 3 & 13 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \] \[ (3 - \lambda)(13 - \lambda) + 21 = 0 \] \[ 39 - 3\lambda - 13\lambda + \lambda^2 + 21 = 0 \] \[ \lambda^2 - 16\lambda + 60 = 0 \] 2. Найдем корни уравнения через дискриминант: \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 60 = 256 - 240 = 16 \] \[ \lambda_1 = \frac{16 + 4}{2} = 10, \quad \lambda_2 = \frac{16 - 4}{2} = 6 \] 3. Найдем собственные векторы. Для \( \lambda_1 = 10 \): \[ \begin{pmatrix} 3-10 & -7 \\ 3 & 13-10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -7 & -7 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Отсюда \( v_1 + v_2 = 0 \). Пусть \( v_1 = 1 \), тогда \( v_2 = -1 \). Вектор \( \vec{u_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \). Для \( \lambda_2 = 6 \): \[ \begin{pmatrix} 3-6 & -7 \\ 3 & 13-6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} -3 & -7 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] Отсюда \( 3v_1 + 7v_2 = 0 \). Пусть \( v_2 = -3 \), тогда \( v_1 = 7 \). Вектор \( \vec{u_2} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix} \). 4. Запишем общее решение: \[ x(t) = C_1 e^{10t} + 7C_2 e^{6t} \] \[ y(t) = -C_1 e^{10t} - 3C_2 e^{6t} \] 5. Найдем константы, используя начальные условия \( x(0)=9, y(0)=-5 \): \[ \begin{cases} C_1 + 7C_2 = 9 \\ -C_1 - 3C_2 = -5 \end{cases} \] Сложим уравнения: \( 4C_2 = 4 \Rightarrow C_2 = 1 \). Подставим во второе: \( -C_1 - 3 = -5 \Rightarrow C_1 = 2 \). Ответ к заданию 7: \[ x(t) = 2e^{10t} + 7e^{6t}, \quad y(t) = -2e^{10t} - 3e^{6t} \] Задание 8. Нахождение области сходимости ряда. Дан степенной ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x + 10)^n}{7^n \cdot n^2} \] 1. Найдем радиус сходимости \( R \). Воспользуемся формулой Даламбера для коэффициентов \( a_n = \frac{1}{7^n \cdot n^2} \): \[ R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{7^{n+1} (n+1)^2}{7^n \cdot n^2} = \lim_{n \to \infty} 7 \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = 7 \] 2. Интервал сходимости центрирован в точке \( x_0 = -10 \): \[ |x + 10| < 7 \Rightarrow -7 < x + 10 < 7 \Rightarrow -17 < x < -3 \] 3. Исследуем сходимость на концах интервала. При \( x = -3 \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3 + 10)^n}{7^n \cdot n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^n}{7^n \cdot n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \] Это обобщенный гармонический ряд с \( p=2 > 1 \), он сходится. При \( x = -17 \): \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-17 + 10)^n}{7^n \cdot n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-7)^n}{7^n \cdot n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \] Этот ряд сходится абсолютно (так как ряд из модулей \( \frac{1}{n^2} \) сходится). Ответ к заданию 8: Область сходимости: \( x \in [-17; -3] \).