Решение Задания 7: Система дифференциальных уравнений

Задание 7. Решение системы дифференциальных уравнений методом исключения неизвестных. Дана система: \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = 3x - 7y \quad (1) \\ \frac{dy}{dt} = 3x + 13y \quad (2) \end{cases} \] с начальными условиями \( x(0) = 9, y(0) = -5 \). 1. Выразим \( y \) из первого уравнения (1): \[ 7y = 3x - \frac{dx}{dt} \Rightarrow y = \frac{3}{7}x - \frac{1}{7}\frac{dx}{dt} \] 2. Продифференцируем первое уравнение (1) по \( t \): \[ \frac{d^2x}{dt^2} = 3\frac{dx}{dt} - 7\frac{dy}{dt} \] 3. Подставим выражение для \( \frac{dy}{dt} \) из второго уравнения (2) в полученное равенство: \[ \frac{d^2x}{dt^2} = 3\frac{dx}{dt} - 7(3x + 13y) \] \[ \frac{d^2x}{dt^2} = 3\frac{dx}{dt} - 21x - 91y \] 4. Теперь подставим выражение для \( y \), которое мы нашли в пункте 1: \[ \frac{d^2x}{dt^2} = 3\frac{dx}{dt} - 21x - 91\left( \frac{3}{7}x - \frac{1}{7}\frac{dx}{dt} \right) \] \[ \frac{d^2x}{dt^2} = 3\frac{dx}{dt} - 21x - 39x + 13\frac{dx}{dt} \] \[ \frac{d^2x}{dt^2} - 16\frac{dx}{dt} + 60x = 0 \] 5. Решим полученное линейное однородное уравнение. Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 16k + 60 = 0 \] По теореме Виета или через дискриминант находим корни: \[ k_1 = 10, \quad k_2 = 6 \] Общее решение для \( x(t) \): \[ x(t) = C_1 e^{10t} + C_2 e^{6t} \] 6. Найдем \( y(t) \), используя формулу из пункта 1: Сначала найдем производную \( \frac{dx}{dt} \): \[ \frac{dx}{dt} = 10C_1 e^{10t} + 6C_2 e^{6t} \] Подставляем в \( y = \frac{3}{7}x - \frac{1}{7}\frac{dx}{dt} \): \[ y(t) = \frac{3}{7}(C_1 e^{10t} + C_2 e^{6t}) - \frac{1}{7}(10C_1 e^{10t} + 6C_2 e^{6t}) \] \[ y(t) = \left(\frac{3}{7} - \frac{10}{7}\right)C_1 e^{10t} + \left(\frac{3}{7} - \frac{6}{7}\right)C_2 e^{6t} \] \[ y(t) = -C_1 e^{10t} - \frac{3}{7}C_2 e^{6t} \] 7. Используем начальные условия \( x(0)=9, y(0)=-5 \): \[ \begin{cases} C_1 + C_2 = 9 \\ -C_1 - \frac{3}{7}C_2 = -5 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ C_2 - \frac{3}{7}C_2 = 9 - 5 \Rightarrow \frac{4}{7}C_2 = 4 \Rightarrow C_2 = 7 \] Находим \( C_1 \): \[ C_1 + 7 = 9 \Rightarrow C_1 = 2 \] 8. Записываем окончательный ответ: \[ x(t) = 2e^{10t} + 7e^{6t} \] \[ y(t) = -2e^{10t} - 3e^{6t} \]