Решение системы уравнений методом исключения

Задание 7. Решение системы методом исключения (выражая \( x \) из второго уравнения). Дана система: \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = 3x - 7y \quad (1) \\ \frac{dy}{dt} = 3x + 13y \quad (2) \end{cases} \] с начальными условиями \( x(0) = 9, y(0) = -5 \). 1. Выразим \( 3x \) из второго уравнения (2): \[ 3x = \frac{dy}{dt} - 13y \Rightarrow x = \frac{1}{3}\frac{dy}{dt} - \frac{13}{3}y \] 2. Продифференцируем второе уравнение (2) по \( t \): \[ \frac{d^2y}{dt^2} = 3\frac{dx}{dt} + 13\frac{dy}{dt} \] 3. Подставим выражение для \( \frac{dx}{dt} \) из первого уравнения (1) в полученное равенство: \[ \frac{d^2y}{dt^2} = 3(3x - 7y) + 13\frac{dy}{dt} \] \[ \frac{d^2y}{dt^2} = 9x - 21y + 13\frac{dy}{dt} \] 4. Теперь подставим выражение для \( 9x \) (это \( 3 \cdot 3x \)), используя результат из пункта 1: \[ \frac{d^2y}{dt^2} = 3\left( \frac{dy}{dt} - 13y \right) - 21y + 13\frac{dy}{dt} \] \[ \frac{d^2y}{dt^2} = 3\frac{dy}{dt} - 39y - 21y + 13\frac{dy}{dt} \] \[ \frac{d^2y}{dt^2} - 16\frac{dy}{dt} + 60y = 0 \] 5. Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 16k + 60 = 0 \] Корни уравнения: \( k_1 = 10, k_2 = 6 \). Общее решение для \( y(t) \): \[ y(t) = C_1 e^{10t} + C_2 e^{6t} \] 6. Найдем \( x(t) \), используя формулу из пункта 1: Найдем производную \( \frac{dy}{dt} \): \[ \frac{dy}{dt} = 10C_1 e^{10t} + 6C_2 e^{6t} \] Подставляем в \( x = \frac{1}{3}\frac{dy}{dt} - \frac{13}{3}y \): \[ x(t) = \frac{1}{3}(10C_1 e^{10t} + 6C_2 e^{6t}) - \frac{13}{3}(C_1 e^{10t} + C_2 e^{6t}) \] \[ x(t) = \left(\frac{10}{3} - \frac{13}{3}\right)C_1 e^{10t} + \left(\frac{6}{3} - \frac{13}{3}\right)C_2 e^{6t} \] \[ x(t) = -C_1 e^{10t} - \frac{7}{3}C_2 e^{6t} \] 7. Используем начальные условия \( x(0)=9, y(0)=-5 \): \[ \begin{cases} -C_1 - \frac{7}{3}C_2 = 9 \\ C_1 + C_2 = -5 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ -\frac{7}{3}C_2 + C_2 = 9 - 5 \Rightarrow -\frac{4}{3}C_2 = 4 \Rightarrow C_2 = -3 \] Находим \( C_1 \): \[ C_1 - 3 = -5 \Rightarrow C_1 = -2 \] 8. Подставим константы в выражения для \( x(t) \) и \( y(t) \): \[ x(t) = -(-2)e^{10t} - \frac{7}{3}(-3)e^{6t} = 2e^{10t} + 7e^{6t} \] \[ y(t) = -2e^{10t} - 3e^{6t} \] Ответ: \[ x(t) = 2e^{10t} + 7e^{6t}, \quad y(t) = -2e^{10t} - 3e^{6t} \]