Решение задачи: Найти медиану QM в прямоугольной трапеции FPQH

Дано: FPQH — прямоугольная трапеция FH, PQ — основания \( \angle PFH = 90^\circ \) PF = 4, FH = 4 FQ \(\cap\) PH = X PX : XH = 3 : 1 Найти: QM — медиану \(\triangle PQH\) Решение: 1. Введем прямоугольную систему координат. Пусть точка F — начало координат (0; 0). Тогда ось Ox направим вдоль основания FH, а ось Oy — вдоль боковой стороны FP. Координаты вершин: F(0; 0) H(4; 0) (так как FH = 4) P(0; 4) (так как PF = 4) 2. Найдем координаты точки Q. Так как PQ — основание, оно параллельно FH. Значит, координата y точки Q равна координате y точки P, то есть \( y_Q = 4 \). Пусть координата x точки Q равна \( a \). Тогда Q(a; 4). 3. Найдем координаты точки X. Точка X лежит на диагонали PH и делит её в отношении PX : XH = 3 : 1. Используем формулу деления отрезка в заданном отношении \( \lambda = 3 \): \[ x_X = \frac{x_P + \lambda x_H}{1 + \lambda} = \frac{0 + 3 \cdot 4}{1 + 3} = \frac{12}{4} = 3 \] \[ y_X = \frac{y_P + \lambda y_H}{1 + \lambda} = \frac{4 + 3 \cdot 0}{1 + 3} = \frac{4}{4} = 1 \] Таким образом, X(3; 1). 4. Точка X также лежит на диагонали FQ. Уравнение прямой FQ, проходящей через (0; 0) и (a; 4): \[ y = \frac{4}{a} x \] Подставим координаты точки X(3; 1) в это уравнение: \[ 1 = \frac{4}{a} \cdot 3 \] \[ 1 = \frac{12}{a} \] \[ a = 12 \] Значит, координаты точки Q(12; 4). 5. Найдем координаты точки M — середины стороны PH. P(0; 4), H(4; 0). \[ x_M = \frac{0 + 4}{2} = 2 \] \[ y_M = \frac{4 + 0}{2} = 2 \] M(2; 2). 6. Найдем длину медианы QM как расстояние между точками Q(12; 4) и M(2; 2): \[ QM = \sqrt{(x_M - x_Q)^2 + (y_M - y_Q)^2} \] \[ QM = \sqrt{(2 - 12)^2 + (2 - 4)^2} \] \[ QM = \sqrt{(-10)^2 + (-2)^2} \] \[ QM = \sqrt{100 + 4} = \sqrt{104} \] \[ QM = \sqrt{4 \cdot 26} = 2\sqrt{26} \] Ответ: \( 2\sqrt{26} \)