Найти расстояние от середины ребра AC до прямой B1C1 в призме

Дано: ABCA1B1C1 — прямая треугольная призма. AA1 = 5 (высота призмы). AC = 4. Угол ACB = 120 градусов. M — середина ребра AC. Найти: расстояние от точки M до прямой B1C1. Решение: 1. Введем систему координат или воспользуемся геометрическим методом. Пусть точка M — середина AC. Тогда отрезок MC равен: \[ MC = \frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] 2. Прямая B1C1 параллельна прямой BC, так как это ребра оснований прямой призмы. Расстояние от точки M до прямой B1C1 — это длина перпендикуляра MK, опущенного из M на B1C1. 3. Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую BC и параллельную ей прямую B1C1. Проекция точки M на плоскость нижнего основания — это сама точка M. Проекция точки M на плоскость верхнего основания (где лежит B1C1) — это точка M1, такая что MM1 = AA1 = 5. 4. Проведем из точки M в плоскости нижнего основания перпендикуляр MH к прямой BC. В треугольнике MHC угол C равен 180 - 120 = 60 градусов (смежный с углом ACB, если рассматривать прямую BC). Однако, так как угол ACB тупой (120 градусов), основание перпендикуляра H будет лежать на продолжении стороны BC за точку C. В прямоугольном треугольнике MHC: \[ MH = MC \cdot \sin(180^\circ - 120^\circ) = 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \] \[ CH = MC \cdot \cos(60^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] 5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник MHM1 (где M1 — проекция точки M на верхнее основание) или воспользуемся теоремой Пифагора для пространства. Искомое расстояние d от точки M до прямой B1C1 находится из прямоугольного треугольника, катетами которого являются перпендикуляр MH к прямой BC и высота призмы CC1 (так как плоскости оснований перпендикулярны боковым граням). Пусть K — точка на прямой B1C1, являющаяся основанием перпендикуляра. Тогда по теореме о трех перпендикулярах: \[ MK^2 = MH^2 + (CC_1)^2 \] Подставим известные значения: \[ MH = \sqrt{3} \] \[ CC_1 = AA_1 = 5 \] \[ MK^2 = (\sqrt{3})^2 + 5^2 \] \[ MK^2 = 3 + 25 \] \[ MK^2 = 28 \] \[ MK = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7} \] Ответ: \( 2\sqrt{7} \)