Решение задачи: Площадь ромба с биссектрисой

Дано: ABCD — ромб. \( \angle BAD = 60^\circ \). AK — биссектриса \( \angle CAB \). \( K \in BC \), \( BK = 12 \) см. Найти: \( S_{ABCD} \) — площадь ромба. Решение: 1. Рассмотрим свойства ромба ABCD. Так как ABCD — ромб, то все его стороны равны: \( AB = BC = CD = AD \). Диагональ ромба является биссектрисой его угла. Следовательно, диагональ AC делит угол \( \angle BAD \) пополам: \[ \angle CAB = \frac{1}{2} \angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \] 2. Рассмотрим треугольник ABC. Так как \( AB = BC \), треугольник ABC — равнобедренный. Углы при основании AC равны: \[ \angle BCA = \angle CAB = 30^\circ \] Найдем угол \( \angle ABC \): \[ \angle ABC = 180^\circ - (\angle CAB + \angle BCA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ \] 3. Рассмотрим биссектрису AK в треугольнике ABC. По условию AK — биссектриса \( \angle CAB \). Значит: \[ \angle BAK = \angle KAC = \frac{1}{2} \angle CAB = \frac{1}{2} \cdot 30^\circ = 15^\circ \] 4. Найдем угол \( \angle AKB \) в треугольнике ABK. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \): \[ \angle AKB = 180^\circ - (\angle BAK + \angle ABC) = 180^\circ - (15^\circ + 120^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \] 5. Применим теорему синусов для треугольника ABK: \[ \frac{BK}{\sin \angle BAK} = \frac{AB}{\sin \angle AKB} \] Подставим известные значения: \[ \frac{12}{\sin 15^\circ} = \frac{AB}{\sin 45^\circ} \] Отсюда выразим сторону ромба AB: \[ AB = \frac{12 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 15^\circ} \] 6. Вычислим значение \( \sin 15^\circ \): \[ \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \] \[ \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] 7. Подставим это в выражение для AB: \[ AB = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{6\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)} = \frac{24}{\sqrt{3} - 1} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ AB = \frac{24(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{24(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{24(\sqrt{3} + 1)}{2} = 12(\sqrt{3} + 1) \] 8. Найдем площадь ромба по формуле \( S = AB^2 \cdot \sin \angle BAD \): \[ S = (12(\sqrt{3} + 1))^2 \cdot \sin 60^\circ \] \[ S = 144 \cdot (3 + 2\sqrt{3} + 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 144 \cdot (4 + 2\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = 72 \cdot (4\sqrt{3} + 2 \cdot 3) = 72 \cdot (4\sqrt{3} + 6) \] \[ S = 432 + 288\sqrt{3} \] Ответ: \( 432 + 288\sqrt{3} \) \( см^2 \).