schoolГеометрия
verifiedРешено AI
Решение задачи по геометрии: ромб ABCD и его свойства
help_outlineУсловие задачи
В ромбе ABCD точки K и L — середины ребер BC и CD соответственно. Прямые AK и AL пересекают диагональ BD в точках P и Q соответственно. а) Докажите, что SAPQ = SBKP + SDLQ. б) Известно, что в пятиугольник CKPQL можно вписать окружность. Найдите ее радиус, если сторона ромба ABCD равна 12√5 Реши задачу: откуда площадь BKP =1/6 площади ABC
lightbulbКраткий ответ
На странице представлено подробное решение геометрической задачи о ромбе ABCD, включая доказательство равенства площадей и нахождение радиуса вписанной окружности в пятиугольник CKPQL. Решение содержит все необходимые шаги и объяснения.
Подробное решение
Для того чтобы это было удобно переписать в тетрадь, разберем подробно вычисление площади треугольника \( BKP \).
1. Рассмотрим треугольник \( ABC \). В нем \( AK \) и \( BO \) — медианы (так как \( K \) — середина \( BC \), а \( O \) — середина \( AC \) по свойствам ромба).
2. Точка \( P \) — точка пересечения медиан треугольника \( ABC \).
3. Известно свойство: три медианы треугольника разделяют его на 6 равновеликих (равных по площади) треугольников.
4. В треугольнике \( ABC \) медианы \( AK \), \( BO \) и медиана из вершины \( C \) делят его на части. Треугольник \( BKP \) является одним из этих шести треугольников.
5. Следовательно:
\[ S_{BKP} = \frac{1}{6} S_{ABC} \]
Аналогично для треугольника \( ADC \):
1. \( AL \) и \( DO \) — медианы.
2. \( Q \) — точка пересечения медиан.
3. Треугольник \( DLQ \) составляет одну шестую часть площади треугольника \( ADC \):
\[ S_{DLQ} = \frac{1}{6} S_{ADC} \]
Так как диагональ ромба \( AC \) делит его на два равных треугольника, то \( S_{ABC} = S_{ADC} \).
Тогда сумма площадей:
\[ S_{BKP} + S_{DLQ} = \frac{1}{6} S_{ABC} + \frac{1}{6} S_{ABC} = \frac{2}{6} S_{ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \]
Теперь проверим площадь \( APQ \):
1. Основание \( PQ = \frac{1}{3} BD \) (как было доказано ранее).
2. Высота треугольника \( APQ \), опущенная из вершины \( A \) на прямую \( BD \), совпадает с высотой треугольника \( ABD \).
3. Площадь \( S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h \).
4. Площадь \( S_{APQ} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} BD \right) \cdot h = \frac{1}{3} S_{ABD} \).
5. Так как \( S_{ABD} = S_{ABC} \) (треугольники с общим основанием \( AB \) и равными высотами, или просто половины ромба), то:
\[ S_{APQ} = \frac{1}{3} S_{ABC} \]
Таким образом, \( S_{APQ} = S_{BKP} + S_{DLQ} \), что и требовалось доказать.