Решение задачи о ромбе ABCD: точки K и L - середины сторон

Для того чтобы это было удобно переписать в тетрадь, приведем подробный вывод площади треугольника \( APQ \). 1. Рассмотрим треугольник \( ABD \). Его площадь можно вычислить по формуле: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h \] где \( BD \) — основание треугольника, а \( h \) — высота, опущенная из вершины \( A \) на диагональ \( BD \) (в ромбе эта высота совпадает с половиной диагонали \( AC \), то есть \( h = AO \)). 2. Теперь рассмотрим треугольник \( APQ \). Его вершина \( A \) совпадает с вершиной треугольника \( ABD \), а основание \( PQ \) лежит на той же прямой, что и основание \( BD \). Следовательно, высота у этих треугольников общая. 3. Площадь треугольника \( APQ \) вычисляется по формуле: \[ S_{APQ} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot h \] 4. Ранее мы доказали, что точки \( P \) и \( Q \) делят диагональ \( BD \) на три равные части. Напомним, почему: - Точка \( P \) — точка пересечения медиан \( \triangle ABC \), поэтому \( BP = \frac{2}{3} BO = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} BD = \frac{1}{3} BD \). - Точка \( Q \) — точка пересечения медиан \( \triangle ADC \), поэтому \( DQ = \frac{2}{3} DO = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} BD = \frac{1}{3} BD \). - Тогда \( PQ = BD - BP - DQ = BD - \frac{1}{3} BD - \frac{1}{3} BD = \frac{1}{3} BD \). 5. Подставим значение \( PQ = \frac{1}{3} BD \) в формулу площади \( S_{APQ} \): \[ S_{APQ} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} BD \right) \cdot h \] 6. Вынесем множитель \( \frac{1}{3} \) за скобки: \[ S_{APQ} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h \right) \] 7. Заметим, что выражение в скобках — это и есть площадь треугольника \( ABD \): \[ S_{APQ} = \frac{1}{3} S_{ABD} \] Так как в ромбе диагональ делит его на два равновеликих треугольника, то \( S_{ABD} = S_{ABC} \). Это позволяет нам связать все части задачи и окончательно доказать равенство площадей.