Решение Задания 7: Система Дифференциальных Уравнений

Задание 7. Решение системы дифференциальных уравнений. Дана система: \[ \begin{cases} \frac{dx}{dt} = 3x - 7y \\ \frac{dy}{dt} = 3x + 13y \end{cases} \] С начальными условиями: \( x(0) = 9, y(0) = -5 \). Решим систему методом исключения, выразив \( x \) из второго уравнения, как указано в задании. 1. Выразим \( x \) из второго уравнения: \[ 3x = \frac{dy}{dt} - 13y \implies x = \frac{1}{3} \frac{dy}{dt} - \frac{13}{3} y \] 2. Продифференцируем полученное выражение по \( t \): \[ \frac{dx}{dt} = \frac{1}{3} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{13}{3} \frac{dy}{dt} \] 3. Подставим выражения для \( x \) и \( \frac{dx}{dt} \) в первое уравнение системы: \[ \frac{1}{3} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{13}{3} \frac{dy}{dt} = 3 \left( \frac{1}{3} \frac{dy}{dt} - \frac{13}{3} y \right) - 7y \] \[ \frac{1}{3} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{13}{3} \frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dt} - 13y - 7y \] \[ \frac{1}{3} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{13}{3} \frac{dy}{dt} - \frac{dy}{dt} + 20y = 0 \] Умножим всё уравнение на 3: \[ \frac{d^2y}{dt^2} - 13 \frac{dy}{dt} - 3 \frac{dy}{dt} + 60y = 0 \] \[ \frac{d^2y}{dt^2} - 16 \frac{dy}{dt} + 60y = 0 \] 4. Составим характеристическое уравнение: \[ k^2 - 16k + 60 = 0 \] Найдем корни через дискриминант: \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16 \] \[ k_1 = \frac{16 + 4}{2} = 10, \quad k_2 = \frac{16 - 4}{2} = 6 \] 5. Общее решение для \( y(t) \): \[ y(t) = C_1 e^{10t} + C_2 e^{6t} \] 6. Найдем \( x(t) \), используя формулу из шага 1. Сначала найдем производную \( y'(t) \): \[ \frac{dy}{dt} = 10C_1 e^{10t} + 6C_2 e^{6t} \] Подставляем в \( x = \frac{1}{3} \frac{dy}{dt} - \frac{13}{3} y \): \[ x(t) = \frac{1}{3} (10C_1 e^{10t} + 6C_2 e^{6t}) - \frac{13}{3} (C_1 e^{10t} + C_2 e^{6t}) \] \[ x(t) = \left( \frac{10}{3} - \frac{13}{3} \right) C_1 e^{10t} + \left( \frac{6}{3} - \frac{13}{3} \right) C_2 e^{6t} \] \[ x(t) = -C_1 e^{10t} - \frac{7}{3} C_2 e^{6t} \] 7. Используем начальные условия \( x(0) = 9, y(0) = -5 \): \[ \begin{cases} -C_1 - \frac{7}{3} C_2 = 9 \\ C_1 + C_2 = -5 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ - \frac{7}{3} C_2 + C_2 = 9 - 5 \] \[ - \frac{4}{3} C_2 = 4 \implies C_2 = -3 \] Найдем \( C_1 \): \[ C_1 = -5 - C_2 = -5 - (-3) = -2 \] 8. Записываем окончательный ответ: \[ x(t) = -(-2) e^{10t} - \frac{7}{3} (-3) e^{6t} = 2e^{10t} + 7e^{6t} \] \[ y(t) = -2e^{10t} - 3e^{6t} \] Ответ: \[ \begin{cases} x(t) = 2e^{10t} + 7e^{6t} \\ y(t) = -2e^{10t} - 3e^{6t} \end{cases} \]