Решение задач по геометрии 7 класс: №9 и №10

Задача 9. Дано: \(\triangle ABC\) — прямоугольный (\(\angle C = 90^\circ\)). \(\angle A = 60^\circ\). \(AC = 8\) см. Найти: \(AB\). Решение: 1) Найдем величину второго острого угла треугольника. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна \(90^\circ\): \[\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\] 2) Воспользуемся свойством прямоугольного треугольника: катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. В нашем случае катет \(AC\) лежит против угла \(B = 30^\circ\). Следовательно: \[AC = \frac{1}{2} AB\] 3) Из этого уравнения найдем гипотенузу \(AB\): \[AB = 2 \cdot AC\] \[AB = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}\] Ответ: 16 см. Задача 10. Дано: \(m \parallel n\). \(\angle 1 = 48^\circ\). \(\angle 2 = 57^\circ\). Найти: \(\angle 3\). Решение: 1) Рассмотрим прямую \(m\) и секущую, образующую угол 2. Угол, накрест лежащий с углом 2 при параллельных прямых \(m\) и \(n\), будет равен \(57^\circ\). Обозначим его как \(\angle 4\). Он находится на прямой \(m\) рядом с углом 3. 2) Заметим, что углы 1, 3 и \(\angle 4\) (который равен углу 2 как накрест лежащий) вместе образуют развернутый угол на прямой \(m\). Сумма углов, составляющих развернутый угол, равна \(180^\circ\). 3) Составим уравнение: \[\angle 1 + \angle 3 + \angle 2 = 180^\circ\] (Здесь мы заменили накрест лежащий угол его значением \(\angle 2\)). \[48^\circ + \angle 3 + 57^\circ = 180^\circ\] \[105^\circ + \angle 3 = 180^\circ\] \[\angle 3 = 180^\circ - 105^\circ\] \[\angle 3 = 75^\circ\] Ответ: \(75^\circ\).