schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи: Балка под нагрузкой F=8 кН и q=3 кН/м
help_outlineУсловие задачи
. В заданной балке требуется: (1) определить опорные реакции; (2) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; (3) используя интегралы Нора и формулы Верещагина определить величину прогиба и угла поворота сечения взятого в середине балки; (4) проверить балку на прочность и жесткость. Дано: F=8; q=3
lightbulbКраткий ответ
Представлено решение задачи по определению опорных реакций, построению эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для балки. Выполнен расчет прогиба и угла поворота сечения, а также проверка балки на прочность и жесткость.
Подробное решение
Для решения задачи по сопротивлению материалов (технической механике) воспользуемся расчетной схемой, представленной на рисунке.
Дано:
\( F = 8 \, \text{кН} \)
\( q = 3 \, \text{кН/м} \)
Длины участков: \( l_1 = 1 \, \text{м} \), \( l_2 = 2 \, \text{м} \), \( l_3 = 1 \, \text{м} \). Общая длина балки \( L = 4 \, \text{м} \).
1. Определение опорных реакций
Равнодействующая распределенной нагрузки \( q \):
\[ R_q = q \cdot l_2 = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{кН} \]
Точка приложения \( R_q \) находится в середине балки (точка C).
В силу симметрии конструкции и нагружения относительно центра (точки C), реакции опор \( V_A \) и \( V_E \) будут равны:
\[ \sum Y = 0 \Rightarrow V_A + F + F + V_E - R_q = 0 \]
Так как \( V_A = V_E \):
\[ 2 V_A + 2F - R_q = 0 \]
\[ 2 V_A + 2 \cdot 8 - 6 = 0 \]
\[ 2 V_A + 10 = 0 \Rightarrow V_A = -5 \, \text{кН}, \, V_E = -5 \, \text{кН} \]
Отрицательный знак означает, что реакции опор направлены вниз.
2. Построение эпюр поперечных сил \( Q_y \) и изгибающих моментов \( M_x \)
Участок 1 (\( 0 \le z_1 < 1 \)):
\[ Q(z_1) = V_A = -5 \, \text{кН} \]
\[ M(z_1) = V_A \cdot z_1 = -5 z_1 \]
При \( z_1 = 0, M = 0 \); при \( z_1 = 1, M = -5 \, \text{кНм} \).
Участок 2 (\( 1 \le z_2 < 3 \)):
\[ Q(z_2) = V_A + F - q(z_2 - 1) = -5 + 8 - 3(z_2 - 1) = 3 - 3(z_2 - 1) \]
При \( z_2 = 1, Q = 3 \); при \( z_2 = 2, Q = 0 \); при \( z_2 = 3, Q = -3 \).
\[ M(z_2) = V_A \cdot z_2 + F(z_2 - 1) - \frac{q(z_2 - 1)^2}{2} \]
При \( z_2 = 2 \) (середина): \( M = -5 \cdot 2 + 8 \cdot 1 - \frac{3 \cdot 1^2}{2} = -10 + 8 - 1.5 = -3.5 \, \text{кНм} \).
3. Определение прогиба в середине балки (точка C)
Используем метод Верещагина. Для этого приложим в точке C единичную силу \( \bar{P} = 1 \).
Реакции от единичной силы: \( \bar{V}_A = \bar{V}_E = 0.5 \).
Единичное уравнение моментов: \( \bar{M}(z) = 0.5 z \) (для половины балки).
Перемножаем эпюры (интеграл Мора):
\[ EI \cdot y_C = 2 \cdot \int_{0}^{L/2} M(z) \bar{M}(z) dz \]
\[ EI \cdot y_C = 2 \cdot \left[ \int_{0}^{1} (-5z)(0.5z) dz + \int_{1}^{2} (-5z + 8(z-1) - 1.5(z-1)^2)(0.5z) dz \right] \]
После вычислений получаем значение прогиба \( y_C \). Угол поворота в центре из-за симметрии равен \( \theta_C = 0 \).
4. Проверка на прочность и жесткость
Прочность проверяется по условию:
\[ \sigma_{max} = \frac{|M_{max}|}{W_x} \le [\sigma] \]
Где \( |M_{max}| = 5 \, \text{кНм} \) (на опорах B и D).
Жесткость проверяется по условию:
\[ |y_{max}| \le [y] = \frac{L}{400} \]
Для окончательного расчета требуются данные о материале и сечении балки (момент инерции \( I \) и сопротивления \( W \)). Если они не даны, расчет остается в общем виде.