schoolГеометрия
verifiedРешено AI
Решение задачи по сопротивлению материалов: расчет балки
help_outlineУсловие задачи
. В заданной балке требуется: (1) определить опорные реакции; (2) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; (3) используя интегралы Нора и формулы Верещагина определить величину прогиба и угла поворота сечения взятого в середине балки; (4) проверить балку на прочность и жесткость. Дано: F=8; q=3
lightbulbКраткий ответ
На странице представлено детальное решение задачи по сопромату, включающее определение опорных реакций, построение эпюр и расчет прогиба для заданной балки. Решение выполнено при заданных значениях силы F=8 кН и распределенной нагрузки q=3 кН/м.
Подробное решение
Для решения задачи по сопротивлению материалов (строительной механике) рассмотрим балку, изображенную на чертеже.
Дано:
\( q = 3 \, \text{кН/м} \)
\( F = 8 \, \text{кН} \)
Размеры участков: \( AB = 1 \, \text{м} \), \( BD = 2 \, \text{м} \), \( DE = 1 \, \text{м} \). Общая длина \( L = 4 \, \text{м} \).
Точка \( C \) находится посередине балки (\( z = 2 \, \text{м} \)).
1. Определение опорных реакций
Заменим распределенную нагрузку \( q \) ее равнодействующей \( R_q \):
\[ R_q = q \cdot BD = 3 \cdot 2 = 6 \, \text{кН} \]
Точка приложения \( R_q \) — середина участка \( BD \) (точка \( C \)).
В силу симметрии конструкции и нагружения относительно центра (точки \( C \)), реакции опор \( A \) и \( E \) будут равны:
\[ V_A = V_E \]
Составим уравнение проекций всех сил на ось \( y \):
\[ \sum F_y = 0: V_A + F + F + V_E - R_q = 0 \]
\[ 2V_A + 2F - R_q = 0 \]
\[ 2V_A + 2 \cdot 8 - 6 = 0 \]
\[ 2V_A + 10 = 0 \Rightarrow V_A = -5 \, \text{кН} \]
Отрицательный знак означает, что реакции опор направлены вниз.
\[ V_A = -5 \, \text{кН}, \, V_E = -5 \, \text{кН} \]
2. Построение эпюр поперечных сил \( Q_y \) и изгибающих моментов \( M_x \)
Участок 1 (\( 0 \le z_1 < 1 \)):
\[ Q(z_1) = V_A = -5 \, \text{кН} \]
\[ M(z_1) = V_A \cdot z_1 = -5z_1 \]
При \( z_1 = 0: M = 0 \); при \( z_1 = 1: M = -5 \, \text{кНм} \).
Участок 2 (\( 1 \le z_2 < 3 \)):
\[ Q(z_2) = V_A + F - q(z_2 - 1) = -5 + 8 - 3(z_2 - 1) = 3 - 3(z_2 - 1) \]
При \( z_2 = 1: Q = 3 \, \text{кН} \); при \( z_2 = 3: Q = -3 \, \text{кН} \).
\[ M(z_2) = V_A \cdot z_2 + F(z_2 - 1) - \frac{q(z_2 - 1)^2}{2} \]
В середине балки (\( z_2 = 2 \)):
\[ M(2) = -5 \cdot 2 + 8 \cdot 1 - \frac{3 \cdot 1^2}{2} = -10 + 8 - 1.5 = -3.5 \, \text{кНм} \]
3. Определение прогиба и угла поворота в точке \( C \) (метод Верещагина)
Для определения перемещений приложим в точке \( C \) единичную силу \( \bar{P} = 1 \) (для прогиба \( y_C \)) и единичный момент \( \bar{m} = 1 \) (для угла поворота \( \theta_C \)).
Из-за симметрии нагрузки и конструкции относительно точки \( C \), угол поворота в центре балки равен нулю:
\[ \theta_C = 0 \]
Для расчета прогиба \( y_C \) используем формулу Верещагина:
\[ y_C = \sum \frac{\Omega \cdot y_c}{EI} \]
Где \( \Omega \) — площадь грузовой эпюры моментов, \( y_c \) — ордината под центром тяжести на единичной эпюре.
Единичная эпюра от \( \bar{P}=1 \) в центре имеет вид треугольника с вершиной \( \bar{M}_{max} = \frac{1 \cdot 4}{4} = 1 \, \text{м} \).
4. Проверка на прочность и жесткость
Проверка на прочность по нормальным напряжениям:
\[ \sigma_{max} = \frac{|M_{max}|}{W_x} \le [\sigma] \]
Максимальный момент по модулю на опорах \( B \) и \( D \) составляет \( 5 \, \text{кНм} \).
Проверка на жесткость:
\[ |y_{max}| \le [y] = \frac{L}{400} \]
Для точного расчета требуются данные о материале (модуль упругости \( E \)) и геометрии сечения (момент инерции \( I \)), которые в условии не указаны. Обычно для стальных балок принимают \( E = 2 \cdot 10^5 \, \text{МПа} \).