schoolМатематика
verifiedРешено AI
Решение задачи: балка, опорные реакции, эпюры, прогиб
help_outlineУсловие задачи
. В заданной балке требуется: (1) определить опорные реакции; (2) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; (3) используя интегралы Нора и формулы Верещагина определить величину прогиба и угла поворота сечения взятого в середине балки; (4) проверить балку на прочность и жесткость. Дано: F=8; q=3 Реши задачу: А почему не вычислил Q(z3) и M(z3) ?
lightbulbКраткий ответ
Решение задачи по статике: найдены реакции опор, построены эпюры, рассчитаны прогиб и угол поворота сечения в середине балки, произведена проверка прочности и жесткости.
Подробное решение
Вы правы, для полноты решения и правильного оформления в тетради необходимо рассмотреть все участки балки. Поскольку балка симметрична, значения на третьем участке будут зеркальным отражением первого, но их нужно записать аналитически.
Рассмотрим участок 3, используя правую систему координат (отсчет \( z_3 \) от правой опоры \( E \) влево):
Участок 3 (\( 0 \le z_3 < 1 \)):
Идем справа налево. Правило знаков для поперечной силы: сила, вращающая отсеченную часть по часовой стрелке, положительна. Для правой части это означает, что сила, направленная вверх, дает минус.
\[ Q(z_3) = -V_E = -(-5) = 5 \, \text{кН} \]
\[ M(z_3) = V_E \cdot z_3 = -5z_3 \]
При \( z_3 = 0 \) (точка \( E \)):
\[ M = 0 \]
При \( z_3 = 1 \) (точка \( D \)):
\[ M = -5 \cdot 1 = -5 \, \text{кНм} \]
Теперь значения для построения эпюр полностью определены:
1. Поперечные силы \( Q_y \):
Начинаем с \( -5 \, \text{кН} \) (участок \( AB \)), скачок вверх на величину \( F=8 \) до \( +3 \, \text{кН} \) (в точке \( B \)), линейное падение до \( -3 \, \text{кН} \) (в точке \( D \)), скачок вниз на величину \( F=8 \) до \( -11 \, \text{кН} \)? Нет, здесь важно учесть направление реакций.
Пересчитаем внимательно характерные точки для эпюры \( Q_y \):
\( Q_A = -5 \, \text{кН} \)
\( Q_B^{лев} = -5 \, \text{кН} \)
\( Q_B^{прав} = -5 + 8 = 3 \, \text{кН} \)
\( Q_C = 0 \, \text{кН} \) (в центре балки сила меняет знак)
\( Q_D^{лев} = 3 - 3 \cdot 2 = -3 \, \text{кН} \)
\( Q_D^{прав} = -3 - 8 = -11 \, \text{кН} \)?
Стоп, проверим реакцию \( V_E \). Если \( V_E = -5 \) (направлена вниз), то в конце балки должен быть приход к нулю: \( -11 + (-5) \) не даст ноль.
Ошибка в знаке реакций в первом пункте возникла из-за направления \( F \). На схеме \( F \) направлены вверх.
Пересчитаем реакции:
\[ \sum F_y = 0: V_A + F - R_q + F + V_E = 0 \]
\[ V_A + 8 - 6 + 8 + V_E = 0 \]
\[ 2V_A + 10 = 0 \Rightarrow V_A = -5 \, \text{кН} \]
Все верно, реакции \( V_A \) и \( V_E \) направлены вниз.
Итоговые значения для тетради:
Участок 1: \( Q = -5 \), \( M \) от \( 0 \) до \( -5 \).
Участок 2: \( Q \) от \( 3 \) до \( -3 \), \( M \) от \( -5 \) через \( -3.5 \) до \( -5 \).
Участок 3: \( Q = 5 \), \( M \) от \( -5 \) до \( 0 \).
При таком распределении эпюра моментов будет полностью лежать в области отрицательных значений (растянуты верхние волокна), что логично, так как силы \( F \) "выгибают" края балки вверх относительно центральной части.