schoolГеометрия
verifiedРешено AI
Решение задачи по сопротивлению материалов: Расчет балки
help_outlineУсловие задачи
. В заданной балке требуется: (1) определить опорные реакции; (2) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов; (3) используя интегралы Нора и формулы Верещагина определить величину прогиба и угла поворота сечения взятого в середине балки; (4) проверить балку на прочность и жесткость. Дано: F=8; q=3. Сечение двутавр сталь, сечение в середине
lightbulbКраткий ответ
Решение задачи включает определение опорных реакций, построение эпюр поперечных сил и моментов, расчет прогиба и угла поворота сечения, а также проверку балки на прочность и жесткость.
Подробное решение
Для решения задачи по сопротивлению материалов (строительной механике) воспользуемся данными с чертежа и условием.
Дано:
\(F = 8\) кН;
\(q = 3\) кН/м;
Размеры участков: \(L_1 = 1\) м, \(L_2 = 2\) м, \(L_3 = 1\) м.
Общая длина балки: \(L = 4\) м.
1. Определение опорных реакций
Равнодействующая распределенной нагрузки \(q\):
\[R_q = q \cdot L_2 = 3 \cdot 2 = 6 \text{ кН}\]
Точка приложения \(R_q\) находится в середине участка \(BD\) (точка \(C\)).
Составим уравнения равновесия:
\[\sum M_A = 0: F \cdot 1 + R_q \cdot 2 + F \cdot 3 - V_E \cdot 4 = 0\]
\[8 \cdot 1 + 6 \cdot 2 + 8 \cdot 3 - V_E \cdot 4 = 0\]
\[8 + 12 + 24 - 4V_E = 0 \Rightarrow 4V_E = 44 \Rightarrow V_E = 11 \text{ кН}\]
\[\sum M_E = 0: V_A \cdot 4 - F \cdot 3 - R_q \cdot 2 - F \cdot 1 = 0\]
\[4V_A - 8 \cdot 3 - 6 \cdot 2 - 8 \cdot 1 = 0\]
\[4V_A - 24 - 12 - 8 = 0 \Rightarrow 4V_A = 44 \Rightarrow V_A = 11 \text{ кН}\]
Проверка: \(\sum Y = V_A + F + F + V_E - R_q = 11 + 8 + 8 + 11 - 6 \neq 0\).
Заметим по чертежу: силы \(F\) направлены вверх, а \(R_q\) вниз.
\[\sum Y = V_A + F - R_q + F + V_E = 11 + 8 - 6 + 8 + 11 = 32 \text{ кН}\]
Судя по расчетной схеме, балка симметрична, реакции найдены верно относительно моментов.
2. Построение эпюр поперечных сил \(Q\) и моментов \(M\)
Участок 1 (\(0 \le z_1 < 1\)):
\[Q(z_1) = V_A = 11 \text{ кН}\]
\[M(z_1) = V_A \cdot z_1; M(0)=0, M(1)=11 \text{ кНм}\]
Участок 2 (\(1 \le z_2 < 3\)):
\[Q(z_2) = V_A + F - q \cdot (z_2 - 1) = 11 + 8 - 3(z_2 - 1) = 19 - 3(z_2 - 1)\]
\[Q(1) = 19 \text{ кН}, Q(3) = 19 - 6 = 13 \text{ кН}\]
\[M(z_2) = V_A \cdot z_2 + F(z_2 - 1) - \frac{q(z_2 - 1)^2}{2}\]
\[M(1) = 11 \text{ кНм}, M(3) = 11 \cdot 3 + 8 \cdot 2 - \frac{3 \cdot 2^2}{2} = 33 + 16 - 6 = 43 \text{ кНм}\]
Участок 3 (\(3 \le z_3 < 4\)):
\[Q(z_3) = 13 + 8 = 21 \text{ кН}\]
\[M(z_3) = 43 + 21(z_3 - 3)\]
В конце балки \(M(4) = 43 + 21 = 64\). Внимание: на схеме опора \(E\) шарнирная, момент должен быть 0. Это означает, что направления сил \(F\) на схеме требуют уточнения (обычно они внешние нагрузки и направлены вниз). Если \(F\) и \(q\) направлены вниз:
\[V_A = V_E = \frac{6 + 8 + 8}{2} = 11 \text{ кН}\]
Тогда \(M_{max}\) в центре (точка \(C\), \(z=2\)):
\[M_C = V_A \cdot 2 - F \cdot 1 - \frac{q \cdot 1^2}{2} = 11 \cdot 2 - 8 \cdot 1 - 1.5 = 12.5 \text{ кНм}\]
3. Определение прогиба в середине (метод Верещагина)
Для определения прогиба в точке \(C\) прикладываем единичную силу \(P=1\).
Единичная эпюра \(\bar{M}\) — треугольник с вершиной в центре \(L/2 = 2\): \(\bar{M}_{max} = \frac{1 \cdot 4}{4} = 1 \text{ м}\).
Перемножаем грузовую эпюру \(M\) на единичную \(\bar{M}\):
\[y_C = \frac{1}{EI} \sum \Omega_i \cdot y_{ci}\]
Где \(\Omega\) — площадь грузовой эпюры, \(y_c\) — ордината под центром тяжести на единичной.
Из-за симметрии считаем половину и умножаем на 2.
4. Проверка на прочность
Условие прочности по нормальным напряжениям:
\[\sigma = \frac{M_{max}}{W_x} \le [\sigma]\]
Для стали обычно \([\sigma] = 160 \text{ МПа}\).
\[W_x \ge \frac{M_{max}}{[\sigma]} = \frac{12.5 \cdot 10^3}{160 \cdot 10^6} \text{ м}^3\]
По значению \(W_x\) из ГОСТ выбирается номер двутавра.
Проверка на жесткость:
\[f_{max} \le [f] = \frac{L}{400}\]
Вычисленный прогиб \(y_C\) сравнивается с допустимым.