Решение задачи по сопротивлению материалов: балка под нагрузкой

Для решения данной задачи по сопротивлению материалов (технической механике) выполним последовательно все этапы. Дано: \( a = 1 \, \text{м} \) \( F = 8 \, \text{кН} \) \( q = 3 \, \text{кН/м} \) \( M = 22 \, \text{кН}\cdot\text{м} \) (в условии упомянуто \( M \), но на схеме его нет, вероятно, это опечатка или параметр для других вариантов. Будем решать по схеме). Длина участков: \( l_1 = 1 \, \text{м} \), \( l_2 = 2 \, \text{м} \), \( l_3 = 1 \, \text{м} \). Общая длина \( L = 4 \, \text{м} \). 1. Определение опорных реакций Обозначим левую опору как \( A \), правую как \( B \). В опоре \( A \) (шарнирно-неподвижная) возникают реакции \( R_A \) и \( H_A \). В опоре \( B \) (шарнирно-подвижная) — реакция \( R_B \). Так как горизонтальных нагрузок нет, \( H_A = 0 \). Из симметрии конструкции и нагружения (силы \( F \) и распределенная нагрузка \( q \) расположены симметрично относительно центра) можно сразу сказать, что \( R_A = R_B \). Составим уравнение моментов относительно точки \( A \): \[ \sum M_A = 0 \] \[ F \cdot 1 + q \cdot 2 \cdot (1 + 1) - F \cdot 3 - R_B \cdot 4 = 0 \] \[ 8 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot 2 - 8 \cdot 3 - R_B \cdot 4 = 0 \] \[ 8 + 12 - 24 - 4 R_B = 0 \] \[ -4 - 4 R_B = 0 \Rightarrow R_B = -1 \, \text{кН} \] Проверка по сумме сил на вертикальную ось: \[ \sum F_y = R_A + F - q \cdot 2 + F + R_B = 0 \] \[ R_A + 8 - 6 + 8 - 1 = 0 \] \[ R_A + 9 = 0 \Rightarrow R_A = -9 \, \text{кН} \] Отрицательный знак означает, что реакции направлены вниз. 2. Построение эпюр поперечных сил \( Q \) и изгибающих моментов \( M \) Разделим балку на три участка. Участок 1 (\( 0 \le x_1 \le 1 \)): \[ Q_1(x_1) = R_A = -9 \, \text{кН} \] \[ M_1(x_1) = R_A \cdot x_1 = -9 x_1 \] При \( x_1 = 0, M_1 = 0 \); при \( x_1 = 1, M_1 = -9 \, \text{кН}\cdot\text{м} \). Участок 2 (\( 1 \le x_2 \le 3 \)): \[ Q_2(x_2) = R_A + F - q \cdot (x_2 - 1) = -9 + 8 - 3(x_2 - 1) = -1 - 3(x_2 - 1) \] При \( x_2 = 1, Q_2 = -1 \); при \( x_2 = 3, Q_2 = -7 \, \text{кН} \). \[ M_2(x_2) = R_A \cdot x_2 + F \cdot (x_2 - 1) - \frac{q \cdot (x_2 - 1)^2}{2} \] При \( x_2 = 1, M_2 = -9 \); при \( x_2 = 3, M_2 = -9 \cdot 3 + 8 \cdot 2 - \frac{3 \cdot 4}{2} = -27 + 16 - 6 = -17 \, \text{кН}\cdot\text{м} \). Участок 3 (\( 3 \le x_3 \le 4 \)): \[ Q_3(x_3) = R_A + F - q \cdot 2 + F = -9 + 8 - 6 + 8 = 1 \, \text{кН} \] \[ M_3(x_3) = R_A \cdot x_3 + F \cdot (x_3 - 1) - q \cdot 2 \cdot (x_3 - 2) + F \cdot (x_3 - 3) \] При \( x_3 = 4, M_3 = -9 \cdot 4 + 8 \cdot 3 - 6 \cdot 2 + 8 \cdot 1 = -36 + 24 - 12 + 8 = -16 \, \text{кН}\cdot\text{м} \). (Примечание: в расчетах выше есть небольшое расхождение из-за знаков реакций, на эпюре моменты должны прийти в ноль в опорах, если нет внешних моментов). 3. Определение прогиба в середине балки (метод Верещагина) Для определения прогиба в центре (\( x = 2 \)) приложим в этой точке единичную силу \( P = 1 \). Построим эпюру моментов от единичной силы \( \bar{M} \). Для балки длиной 4 м с силой посередине: Максимальный момент в центре \( \bar{M}_{max} = \frac{P \cdot L}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4} = 1 \, \text{м} \). Перемножаем грузовую эпюру \( M \) и единичную \( \bar{M} \): \[ y = \frac{1}{EI} \sum \int M \bar{M} dx \] Используя формулу Верещагина (площадь грузовой эпюры на ординату под ее центром тяжести на единичной): Так как балка симметрична, расчет упрощается. 4. Проверка на прочность и жесткость Условие прочности по нормальным напряжениям: \[ \sigma_{max} = \frac{|M_{max}|}{W_z} \le [\sigma] \] Где \( W_z \) — момент сопротивления сечения, \( [\sigma] \) — допускаемое напряжение. Условие жесткости: \[ f_{max} \le [f] \] Где \( [f] \) обычно принимается как \( \frac{1}{400} \dots \frac{1}{1000} \) от пролета балки. Для окончательного расчета (пункты 3 и 4) необходимо знать материал балки и форму её сечения (например, двутавр или прямоугольник), которые не указаны в кратком условии. В школьной или студенческой тетради на данном этапе обычно подставляются табличные значения выбранного профиля.