Решение задачи: Вариант 1. Задания 1 и 2 (Начертательная геометрия)

Для выполнения заданий по начертательной геометрии (Вариант 1) нам потребуются координаты точек из таблицы 1: Точка A (10, 50, 30) Точка B (70, 75, 70) Точка C (100, 5, 15) Точка D (20, 0, 60) Задача 1. Построить комплексный чертеж, найти натуральную величину отрезка AB и углы его наклона к плоскостям проекций \(\pi_1\) и \(\pi_2\). Решение: 1. Построение проекций: На чертеже строятся оси координат. Откладываем соответствующие значения для точек A и B. Фронтальная проекция \(A_2 B_2\) строится по координатам (X, Z). Горизонтальная проекция \(A_1 B_1\) строится по координатам (X, Y). 2. Нахождение натуральной величины (НВ) методом прямоугольного треугольника: Для нахождения НВ и угла \(\alpha\) (наклон к \(\pi_1\)): Строим прямоугольный треугольник, где один катет — горизонтальная проекция \(A_1 B_1\), а второй катет — разность высот \(\Delta Z\). \[\Delta Z = |Z_B - Z_A| = |70 - 30| = 40\] Длина горизонтальной проекции \(L_{A_1 B_1}\) вычисляется как: \[L_{A_1 B_1} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} = \sqrt{(70 - 10)^2 + (75 - 50)^2} = \sqrt{60^2 + 25^2} = \sqrt{3600 + 625} = 65\] Натуральная величина AB: \[AB = \sqrt{L_{A_1 B_1}^2 + \Delta Z^2} = \sqrt{65^2 + 40^2} = \sqrt{4225 + 1600} = \sqrt{5825} \approx 76,32\] Угол наклона к \(\pi_1\): \(\alpha = arctg(\frac{\Delta Z}{L_{A_1 B_1}}) = arctg(\frac{40}{65}) \approx 31,6^\circ\). Для нахождения угла \(\beta\) (наклон к \(\pi_2\)): Используем фронтальную проекцию \(A_2 B_2\) и разность широт \(\Delta Y\). \[\Delta Y = |Y_B - Y_A| = |75 - 50| = 25\] Длина фронтальной проекции \(L_{A_2 B_2}\): \[L_{A_2 B_2} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Z_B - Z_A)^2} = \sqrt{60^2 + 40^2} = \sqrt{3600 + 1600} = \sqrt{5200} \approx 72,11\] Угол наклона к \(\pi_2\): \(\beta = arctg(\frac{\Delta Y}{L_{A_2 B_2}}) = arctg(\frac{25}{72,11}) \approx 19,1^\circ\). Задача 2. Найти натуральную величину треугольника ABC и расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC. Решение: 1. Натуральная величина треугольника ABC: Для решения этой задачи в тетради обычно используется метод плоскопараллельного перемещения или метод замены плоскостей проекций. Сначала плоскость треугольника ABC (заданную точками A(10,50,30), B(70,75,70), C(100,5,15)) преобразуют в проецирующую плоскость (перпендикулярную одной из плоскостей проекций), а затем во вторую замену — в плоскость, параллельную новой плоскости проекций. 2. Расстояние от точки D до плоскости ABC: Расстояние \(h\) от точки \(D(X_0, Y_0, Z_0)\) до плоскости, заданной уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\), находится по формуле: \[h = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\] Для этого составим уравнение плоскости ABC через определитель: \[\begin{vmatrix} x - 10 & y - 50 & z - 30 \\ 70 - 10 & 75 - 50 & 70 - 30 \\ 100 - 10 & 5 - 50 & 15 - 30 \end{vmatrix} = 0\] \[\begin{vmatrix} x - 10 & y - 50 & z - 30 \\ 60 & 25 & 40 \\ 90 & -45 & -15 \end{vmatrix} = 0\] Раскрывая определитель: \((x - 10)(25 \cdot (-15) - 40 \cdot (-45)) - (y - 50)(60 \cdot (-15) - 40 \cdot 90) + (z - 30)(60 \cdot (-45) - 25 \cdot 90) = 0\) \(1425(x - 10) + 4500(y - 50) - 4950(z - 30) = 0\) Разделим на 75 для упрощения: \(19(x - 10) + 60(y - 50) - 66(z - 30) = 0\) \(19x + 60y - 66z - 1210 = 0\) Подставим координаты точки D (20, 0, 60): \[h = \frac{|19 \cdot 20 + 60 \cdot 0 - 66 \cdot 60 - 1210|}{\sqrt{19^2 + 60^2 + (-66)^2}}\] \[h = \frac{|380 - 3960 - 1210|}{\sqrt{361 + 3600 + 4356}} = \frac{|-4790|}{\sqrt{8317}} \approx \frac{4790}{91,2} \approx 52,52\] Ответ: Натуральная величина отрезка AB \(\approx 76,32\); углы \(\alpha \approx 31,6^\circ\), \(\beta \approx 19,1^\circ\). Расстояние от точки D до плоскости ABC \(\approx 52,52\).