Решение задачи 1, Вариант 13. Начертательная геометрия

Для выполнения заданий по начертательной геометрии для Варианта 13 используем координаты точек из таблицы 1: Точка A (90, 30, 50) Точка B (30, 70, 75) Точка C (0, 15, 5) Точка D (80, 60, 0) Задача 1. Построить комплексный чертеж, найти натуральную величину отрезка AB и углы его наклона к плоскостям проекций \(\pi_1\) и \(\pi_2\). Решение: 1. Построение проекций: На чертеже строятся оси координат. Фронтальная проекция \(A_2 B_2\) строится по координатам (X, Z): \(A_2(90, 50)\), \(B_2(30, 75)\). Горизонтальная проекция \(A_1 B_1\) строится по координатам (X, Y): \(A_1(90, 30)\), \(B_1(30, 70)\). 2. Нахождение натуральной величины (НВ) методом прямоугольного треугольника: Для нахождения НВ и угла \(\alpha\) (наклон к \(\pi_1\)): Находим разность высот: \[\Delta Z = |Z_B - Z_A| = |75 - 50| = 25\] Находим длину горизонтальной проекции \(L_{A_1 B_1}\): \[L_{A_1 B_1} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2} = \sqrt{(30 - 90)^2 + (70 - 30)^2} = \sqrt{(-60)^2 + 40^2} = \sqrt{3600 + 1600} = \sqrt{5200} \approx 72,11\] Натуральная величина AB: \[AB = \sqrt{L_{A_1 B_1}^2 + \Delta Z^2} = \sqrt{5200 + 25^2} = \sqrt{5200 + 625} = \sqrt{5825} \approx 76,32\] Угол наклона к \(\pi_1\): \(\alpha = arctg(\frac{\Delta Z}{L_{A_1 B_1}}) = arctg(\frac{25}{72,11}) \approx 19,1^\circ\). Для нахождения угла \(\beta\) (наклон к \(\pi_2\)): Находим разность широт: \[\Delta Y = |Y_B - Y_A| = |70 - 30| = 40\] Находим длину фронтальной проекции \(L_{A_2 B_2}\): \[L_{A_2 B_2} = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Z_B - Z_A)^2} = \sqrt{(-60)^2 + 25^2} = \sqrt{3600 + 625} = \sqrt{4225} = 65\] Угол наклона к \(\pi_2\): \(\beta = arctg(\frac{\Delta Y}{L_{A_2 B_2}}) = arctg(\frac{40}{65}) \approx 31,6^\circ\). Задача 2. Найти натуральную величину треугольника ABC и расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC. Решение: 1. Уравнение плоскости ABC: Составим уравнение плоскости через определитель по точкам A(90, 30, 50), B(30, 70, 75), C(0, 15, 5): \[\begin{vmatrix} x - 90 & y - 30 & z - 50 \\ 30 - 90 & 70 - 30 & 75 - 50 \\ 0 - 90 & 15 - 30 & 5 - 50 \end{vmatrix} = 0\] \[\begin{vmatrix} x - 90 & y - 30 & z - 50 \\ -60 & 40 & 25 \\ -90 & -15 & -45 \end{vmatrix} = 0\] Раскрываем определитель: \((x - 90)(40 \cdot (-45) - 25 \cdot (-15)) - (y - 30)((-60) \cdot (-45) - 25 \cdot (-90)) + (z - 50)((-60) \cdot (-15) - 40 \cdot (-90)) = 0\) \((x - 90)(-1800 + 375) - (y - 30)(2700 + 2250) + (z - 50)(900 + 3600) = 0\) \(-1425(x - 90) - 4950(y - 30) + 4500(z - 50) = 0\) Разделим на -75: \(19(x - 90) + 66(y - 30) - 60(z - 50) = 0\) \(19x + 66y - 60z - 1710 - 1980 + 3000 = 0\) \(19x + 66y - 60z - 690 = 0\) 2. Расстояние от точки D(80, 60, 0) до плоскости ABC: Используем формулу расстояния от точки до плоскости: \[h = \frac{|19 \cdot 80 + 66 \cdot 60 - 60 \cdot 0 - 690|}{\sqrt{19^2 + 66^2 + (-60)^2}}\] \[h = \frac{|1520 + 3960 - 690|}{\sqrt{361 + 4356 + 3600}} = \frac{4790}{\sqrt{8317}} \approx \frac{4790}{91,2} \approx 52,52\] 3. Натуральная величина треугольника ABC: В школьной тетради это выполняется графически методом замены плоскостей. Сначала вводится новая плоскость \(\pi_4 \perp \pi_1\) параллельно горизонтали плоскости, затем \(\pi_5 \parallel ABC\). Аналитически площадь треугольника можно найти через векторное произведение: \[S = \frac{1}{2} \sqrt{1425^2 + 4950^2 + 4500^2} \approx \frac{1}{2} \cdot 6839,8 \approx 3419,9 \text{ кв. ед.}\] Ответ: Натуральная величина AB \(\approx 76,32\); углы \(\alpha \approx 19,1^\circ\), \(\beta \approx 31,6^\circ\). Расстояние от точки D до плоскости ABC \(\approx 52,52\).