Решение задачи по электротехнике, вариант 10

Задание для практической работы. Вариант №10. Цель работы: составить дифференциальное уравнение электрической цепи относительно входного \( U_{вх}(t) \) и выходного \( U_{вых}(t) \) напряжений. Согласно варианту №10, электрическая схема представляет собой Г-образный четырехполюсник со следующими элементами: Элемент 1: Конденсатор \( C_1 \) Элемент 2: Катушка индуктивности \( L_1 \) Элемент 3: Конденсатор \( C_2 \) Элемент 4: Резистор \( R_2 \) Порядок выполнения действий: 1. Составим схему в операторной форме. Для этого заменим элементы их операторными сопротивлениями: Сопротивление конденсатора \( C_1 \): \( Z_1(p) = \frac{1}{p C_1} \) Сопротивление катушки \( L_1 \): \( Z_2(p) = p L_1 \) Сопротивление конденсатора \( C_2 \): \( Z_3(p) = \frac{1}{p C_2} \) Сопротивление резистора \( R_2 \): \( Z_4(p) = R_2 \) 2. Определим эквивалентные сопротивления ветвей. Элементы 1 и 3 включены последовательно в верхнюю ветвь, элементы 2 и 4 включены параллельно друг другу и последовательно к общей цепи. Однако, согласно схеме для вариантов 1-5 и 6-10, структура представляет собой мостовую или лестничную цепь. Для 10 варианта (первая группа схем) это лестничная цепь, где: \( Z_a = Z_1 + Z_3 \) (последовательное соединение в продольной ветви) \( Z_b = \frac{Z_2 \cdot Z_4}{Z_2 + Z_4} \) (параллельное соединение в поперечной ветви) Выходное напряжение снимается с параллельного участка (элементы 2 и 4). Используя формулу делителя напряжения: \[ U_{вых}(p) = U_{вх}(p) \cdot \frac{Z_b}{Z_a + Z_b} \] 3. Подставим значения сопротивлений: \[ Z_a = \frac{1}{p C_1} + \frac{1}{p C_2} = \frac{C_1 + C_2}{p C_1 C_2} \] \[ Z_b = \frac{p L_1 R_2}{p L_1 + R_2} \] 4. Найдем передаточную функцию \( W(p) = \frac{U_{вых}(p)}{U_{вх}(p)} \): \[ W(p) = \frac{\frac{p L_1 R_2}{p L_1 + R_2}}{\frac{C_1 + C_2}{p C_1 C_2} + \frac{p L_1 R_2}{p L_1 + R_2}} \] Приведем к общему знаменателю: \[ W(p) = \frac{p L_1 R_2 \cdot p C_1 C_2}{(C_1 + C_2)(p L_1 + R_2) + p^2 L_1 R_2 C_1 C_2} \] \[ W(p) = \frac{p^2 L_1 R_2 C_1 C_2}{p^2 L_1 R_2 C_1 C_2 + p L_1 (C_1 + C_2) + R_2 (C_1 + C_2)} \] 5. Перейдем от операторной формы к дифференциальному уравнению, заменяя \( p \) на оператор дифференцирования \( \frac{d}{dt} \), а \( p^2 \) на \( \frac{d^2}{dt^2} \): \[ (L_1 R_2 C_1 C_2) \frac{d^2 U_{вых}(t)}{dt^2} + (L_1 (C_1 + C_2)) \frac{d U_{вых}(t)}{dt} + (R_2 (C_1 + C_2)) U_{вых}(t) = (L_1 R_2 C_1 C_2) \frac{d^2 U_{вх}(t)}{dt^2} \] Окончательный результат: Дифференциальное уравнение цепи для варианта №10 имеет вид: \[ L_1 R_2 C_1 C_2 \frac{d^2 U_{вых}}{dt^2} + L_1 (C_1 + C_2) \frac{d U_{вых}}{dt} + R_2 (C_1 + C_2) U_{вых} = L_1 R_2 C_1 C_2 \frac{d^2 U_{вх}}{dt^2} \]